כיצד מחשבים נפח?

כיצד אוכל לחשב את עוצמת הקול של קוביה בת 6 צדדים עם אזורים בסיסיים וחלקים עליונים שונים?

הנפח של הצורה הוא המדד כמה שטח תלת מימדי הצורה תופסת. אתה יכול גם לחשוב על נפח הצורה כמו כמה מים (או אוויר, או חול וכו ') הצורה יכולה להחזיק אם היו מלאים לחלוטין. יחידות נפח נפוצות כוללות סנטימטרים מעוקבים (ס"מ ³), מטר מעוקב (מ ' ³), סנטימטרים מעוקבים (ב ^-3) ורגל מעוקבת (רגל ³). מאמר זה ילמד אותך כיצד לחשב את הנפח של שש צורות תלת מימד שונות הנמצאות בדרך כלל במבחני מתמטיקה, כולל קוביות, כדורים וקונוסים. יתכן שתבחין כי רבות מנוסחאות הנפח חולקות קווי דמיון שיכולים להקל עליהם לזכור. בדוק אם אתה יכול לזהות אותם בדרך!

שיטה 1 מתוך 6: חישוב נפח קוביה

1
זיהוי קוביה. קוביה היא צורה תלת מימדית שיש לה שישה פנים מרובעות זהות. במילים אחרות, זוהי צורת קופסה עם צדדים שווים מסביב.
- מת 6-צדדי הוא דוגמה טובה לקוביה שתוכלו למצוא בביתכם. קוביות סוכר, וגושי אותיות לילדים הם בדרך כלל גם קוביות.
2
למדו את הנוסחה לנפח קוביה. מכיוון שכל אורכי הצד של קוביה זהים, הנוסחה לנפח קוביה היא ממש קלה. זהו V = s ³ כאשר V מייצג נפח, ו- s הוא אורך דפנות הקוביה.
- כדי למצוא את s ³, פשוט הכפל את s כשלעצמו פי 3: s ³ = s * s * s
3
מצא את אורכו של צד אחד של הקוביה. בהתאם למשימה שלך, הקוביה תויג עם מידע זה, או שתצטרך למדוד את אורך הצד בעזרת סרגל. זכור כי מכיוון שמדובר בקוביה, כל אורכי הצד צריכים להיות שווים כך שלא משנה איזה מודדים.
- אם אתה לא בטוח ב 100% שהצורה שלך היא קוביה, למדוד כל אחד מהצדדים כדי לקבוע אם הם שווים. אם הם לא, תצטרך להשתמש בשיטה למטה לחישוב הנפח של מוצק מלבני.
4

חבר את אורך הצד לנוסחה V = s ³ וחשב. לדוגמא, אם אתה מגלה שאורך דפנות הקוביה שלך הוא 13 ס"מ, עליך לכתוב את הנוסחה באופן הבא: V = (5 אינץ ') ³. 5 ב * 5 ב * 5 ב = 125 ב ³, נפח הקוביה שלנו!
5

הקפד לציין את תשובתך ביחידות מעוקבות. בדוגמה שלעיל אורך הצד של הקוביה שלנו נמדד באינץ ', ולכן הנפח ניתן באינץ' מעוקב. אם אורך הצד של הקוביה היה 3 ס"מ, למשל, הנפח יהיה V = (3 ס"מ) ³, או V = 27 ס"מ ³.

שיטה 2 מתוך 6: חישוב נפח פריזמה מלבנית

1
זיהוי מוצק מלבני. מוצק מלבני, המכונה גם מנסרה מלבנית, הוא צורה תלת מימדית עם שישה צדדים שכולם מלבנים. במילים אחרות, מוצק מלבני הוא פשוט מלבן תלת מימדי, או צורת תיבה.
- קוביה היא למעשה רק מוצק מלבני מיוחד בו צדי כל המלבנים שווים.
2

למד את הנוסחה לחישוב הנפח של מוצק מלבני. הנוסחה לנפח של מוצק מלבני היא נפח = אורך * רוחב * גובה, או V = lwh.
3
מצא את אורכו של המוצק המלבני. האורך הוא הצד הארוך ביותר של המוצק המלבני המקביל לקרקע או למשטח עליו הוא נשען. האורך עשוי להופיע בתרשים, או שתצטרך למדוד אותו בעזרת סרגל או סרט מדידה.
- דוגמה: אורכו של מוצק מלבני זה הוא 10 ס"מ, כך ש- l = 4 in.
- אל תדאג יותר מדי באיזה צד הוא האורך, איזה רוחב וכו '. כל עוד תסיים שלוש מדידות שונות, המתמטיקה תצא זהה ללא קשר לאופן שבו אתה מסדר את התנאים.
4
מצא את רוחב המוצק המלבני. רוחב המוצק המלבני הוא מדידת הצד הקצר יותר של המוצק, במקביל לקרקע או למשטח שעליו נשענת הצורה. שוב, חפש תווית בתרשים המציינת את הרוחב, או למדוד את צורתך בעזרת סרגל או סרט מדידה.
- דוגמה: רוחב המוצק המלבני הזה הוא 8 ס"מ, לכן w = 3 in.
- אם אתה מודד את המוצק המלבני בעזרת סרגל או סרט מדידה, זכור לקחת ולרשום את כל המידות באותן יחידות. אל תמדוד צד אחד באינץ 'אחר בסנטימטרים; כל המידות חייבות להשתמש באותה יחידה!
5
מצא את גובה המוצק המלבני. גובה זה הוא המרחק מהקרקע או המשטח שהמוצק המלבני מונח עליו לראש המוצק המלבני. אתר את המידע בתרשים שלך, או למדוד את הגובה באמצעות סרגל או סרט מדידה.
- דוגמה: גובה המוצק המלבני הזה הוא 15 ס"מ, כך ש- h = 6 in.
6
חבר את ממדי המוצק המלבני לנוסחת הנפח וחשב. זכור ש- V = lwh.
- בדוגמה שלנו, l = 4, w = 3 ו- h = 6. לכן, V = 4 * 3 * 6, או 72.
7
דאג להביע את תשובתך ביחידות מעוקבות. מכיוון שמלבן הדוגמה שלנו נמדד באינץ ', צריך לכתוב את הנפח כ 72 אינץ' מעוקב, או 72 ל ^-3.
- אם המידות של המוצק המלבני שלנו היו: אורך = 2 ס"מ, רוחב = 4 ס"מ וגובה = 8 ס"מ, הנפח יהיה 2 ס"מ * 4 ס"מ * 8 ס"מ, או 64 ס"מ ³.

אם יש לי נפח של 250 גלונים וקוטר הגליל, כיצד הייתי מחשב את הגובה הלא ידוע?

שיטה 3 מתוך 6: חישוב נפח גליל

1
למד לזהות גליל. גליל הוא צורה תלת מימדית שיש לה שני קצוות שטוחים זהים שצורתם מעגלית, וצד מעוגל יחיד המחבר ביניהם.
- פחית היא דוגמה טובה לגליל, וכך גם סוללת AA או AAA.
2
שינן את הנוסחה לנפח גליל. כדי לחשב את נפח הגליל, עליכם לדעת את גובהו ואת רדיוס הבסיס המעגלי (המרחק ממרכז המעגל לקצהו) בחלקו העליון והתחתון. הנוסחה היא V = πr ² h, כאשר V הוא נפח, r הוא רדיוס הבסיס המעגלי, h הוא הגובה, ו- π הוא ה- pi הקבוע.
- בחלק מבעיות הגיאומטריה התשובה תינתן במונחים של pi, אך ברוב המקרים זה מספיק לעגל את pi ל- 3,14. התייעץ עם המדריך שלך מה היא מעדיפה.
- הנוסחה למציאת נפח הגליל דומה מאוד לזו של מוצק מלבני: אתה פשוט מכפיל את גובה הצורה בשטח הפנים של הבסיס שלה. במוצק מלבני, שטח הפנים הוא l * w, עבור הגליל הוא πr ², שטח המעגל עם רדיוס r.
3

מצא את רדיוס הבסיס. אם זה מופיע בתרשים, פשוט השתמש במספר זה. אם הקוטר ניתן במקום הרדיוס, אתה פשוט צריך לחלק את הערך ב -2 כדי לקבל את הרדיוס (d = 2r).
4
מדוד את האובייקט אם הרדיוס לא ניתן. שים לב שמדידה מדויקת של מוצק מעגלי יכולה להיות קצת מסובכת. אפשרות אחת היא למדוד את בסיס הגליל על פני החלק העליון בעזרת סרגל או סרט מדידה. עשו כמיטב יכולתכם למדידת רוחב הגליל בחלקו הרחב ביותר, וחלקו את המדידה ב -2 כדי למצוא את הרדיוס.
- אפשרות נוספת היא למדוד את היקף הגליל (המרחק סביבו) באמצעות סרט מדידה או אורך חוט אותו תוכלו לסמן ואז למדוד בעזרת סרגל. ואז חבר את המדידה לנוסחה: C (היקף) = 2πr. חלק את ההיקף ב- 2π (6,28) וזה ייתן לך את הרדיוס.
- לדוגמא, אם ההיקף שמדדת היה 20 ס"מ, הרדיוס יהיה 1,27 אינץ '.
- אם אתה זקוק למדידה מדויקת באמת, תוכל להשתמש בשתי השיטות כדי לוודא שהמידות שלך דומות. אם הם לא, בדוק אותם שוב. בדרך כלל שיטת ההיקף תניב תוצאות מדויקות יותר.
5
חשב את שטח הבסיס המעגלי. חבר את רדיוס הבסיס לנוסחה πr ². ואז הכפל את הרדיוס בפני עצמו פעם אחת, ואז הכפל את המוצר ב- π. לדוגמה:
- אם רדיוס המעגל שווה ל -10 סנטימטרים, שטח הבסיס יהיה A = π4².
- 4² = 4 * 4, או 16. 16 * π (3,14) = 50,24 ב ^-2
- אם קוטר הבסיס ניתן במקום הרדיוס, זכרו ש- d = 2r. אתה פשוט צריך לחלק את הקוטר לשניים כדי למצוא את הרדיוס.
6

מצא את גובה הצילינדר. זה פשוט המרחק בין שני הבסיסים המעגליים, או המרחק מהמשטח שהגליל נשען עליו לראשו. מצא את התווית בתרשים המציינת את גובה הגליל, או מדוד את הגובה בעזרת סרגל או סרט מדידה.
7
הכפל את שטח הבסיס כפול גובה הגליל כדי למצוא את הנפח. לחלופין, תוכל לשמור שלב ופשוט לחבר את הערכים למידות הגליל לנוסחה V = πr ² h. לדוגמא הגליל שלנו ברדיוס 10 ס"מ וגובה 25 ס"מ:
- V = π4² 10
- π4² = 50,24
- 50,24 * 10 = 502,4
- V = 502,4
8

זכור לציין את תשובתך ביחידות מעוקבות. הגליל לדוגמא שלנו נמדד באינץ ', לכן הנפח חייב לבוא לידי ביטוי באינץ' מעוקב: V = 502,4in ³. אם הגליל שלנו היה נמדד בסנטימטרים, הנפח היה מתבטא בסנטימטרים מעוקבים (ס"מ ³).

כדי לחשב את נפח הגליל, השתמש בנוסחה v = hπr ^ 2, כאשר r הוא רדיוס הבסיס, h הוא הגובה ו- π הוא pi.

שיטה 4 מתוך 6: חישוב נפח של פירמידה מרובעת רגילה

1
להבין מהי פירמידה רגילה. פירמידה היא צורה תלת מימדית עם מצולע לבסיס, ופנים רוחביות שמתחדדות בקודקוד (נקודת הפירמידה). פירמידה רגילה היא פירמידה בה בסיס הפירמידה הוא מצולע רגיל, כלומר כל צידי המצולע שווים באורכם, וכל הזוויות שוות במידה.
- לרוב אנו מדמיינים פירמידה כבעלת בסיס מרובע וצדדים המתחדדים עד לנקודה אחת, אך בסיס הפירמידה יכול למעשה להיות בעל 5, 6 או אפילו 100 צדדים!
- פירמידה עם בסיס מעגלי נקראת חרוט, עליה יידונו בשיטה הבאה.
2
למד את הנוסחה לנפח של פירמידה רגילה. הנוסחה לנפח של פירמידה רגילה היא V = 0,33bh, כאשר b הוא שטח בסיס הפירמידה (המצולע בתחתית) ו- h הוא גובה הפירמידה, או המרחק האנכי מהבסיס לקודקוד (נקודה).
- נוסחת הנפח זהה לפירמידות ימניות, בהן הקודקוד נמצא ממש מעל מרכז הבסיס, ועבור פירמידות אלכסוניות, בהן הקודקוד אינו מרוכז.
3
חשב את שטח הבסיס. הנוסחה לכך תהיה תלויה במספר הצדדים שיש לבסיס הפירמידה. בפירמידה בתרשים שלנו, הבסיס הוא ריבוע עם צלעות שאורכן 15 ס"מ. זכור כי הנוסחה לשטח הריבוע היא A = s ² כאשר s הוא אורך הצדדים. אז עבור הפירמידה הזו, שטח הבסיס הוא (6 אינץ ') ², או 36in ².
- הנוסחה לאזור המשולש היא: A = 0,5bh, כאשר b הוא בסיס המשולש ו- h הוא הגובה.
- ניתן למצוא את השטח של כל מצולע רגיל באמצעות הנוסחה A = 0,5pa, כאשר A הוא השטח, p הוא היקף הצורה, ו- a הוא apothem, או המרחק ממרכז הצורה אל נקודת האמצע של כל אחד מהצדדים שלה. זהו חישוב די מעורב החורג מתחום המאמר, אך עיין בחישוב שטח המצולע לקבלת הוראות נהדרות כיצד להשתמש בו. לחלופין, תוכלו להקל על חייכם ולחפש באינטרנט מחשבון מצולעים רגיל.
4

מצא את גובה הפירמידה. ברוב המקרים זה יצוין בתרשים. בדוגמה שלנו, גובה הפירמידה הוא 25 סנטימטרים.
5
הכפל את שטח בסיס הפירמידה בגובהה, וחלק ב -3 כדי למצוא את הנפח. זכור כי הנוסחה לנפח היא V = 0,33bh. בפירמידה לדוגמא שלנו, שהיה לה בסיס עם שטח 36 וגובה 10, הנפח הוא: 36 * 10 * 0,33, או 120.
- אם הייתה לנו פירמידה אחרת, עם בסיס מחומש עם שטח 26 וגובה 8, הנפח יהיה: 0,33 * 26 * 8 = 69,33.
6

זכור להביע את תשובתך ביחידות מעוקבות. המדידות של הפירמידה לדוגמא שלנו ניתנו באינץ ', ולכן נפח שלה חייב לבוא לידי ביטוי בקוביות אינץ', 120in. אם הפירמידה שלנו הייתה נמדדת במטרים, הנפח היה מתבטא במקום מעוקב (מ ' ³). ³

שיטה 5 מתוך 6: חישוב נפח חרוט

1
למד את המאפיינים של חרוט. חרוט הוא מוצק תלת-ממדי בעל בסיס מעגלי וקודקוד יחיד (נקודת החרוט). דרך נוספת לחשוב על זה היא שחרוט הוא פירמידה מיוחדת שיש לה בסיס מעגלי.
- אם קודקוד החרוט נמצא ישירות מעל מרכז הבסיס המעגלי, החרוט נקרא "חרוט ימין". אם הוא לא נמצא ישירות במרכז, החרוט נקרא "חרוט אלכסוני". למרבה המזל, הנוסחה לחישוב שטח קונוס זהה בין אם היא נכונה או אלכסונית.
2
דע את הנוסחה לחישוב נפח החרוט. הנוסחה היא V = 0,33πr ² h, כאשר r הוא רדיוס הבסיס המעגלי של החרוט, h הוא גובה החרוט, ו- π הוא ה- pi הקבוע, שניתן לעגל אותו ל- 3,14.
- החלק πr ² של הנוסחה מתייחס לאזור הבסיס המעגלי של החרוט. הנוסחה לנפח החרוט היא לפיכך 0,33bh, בדיוק כמו הנוסחה לנפח פירמידה בשיטה לעיל!
3
חשב את שטח הבסיס המעגלי של החרוט. לשם כך עליך לדעת את רדיוס הבסיס, אשר אמור להיות מופיע בתרשים שלך. אם מקבלים במקום זאת את קוטר הבסיס המעגלי, פשוט חלקו את המספר ב -2, שכן הקוטר הוא פשוט פי 2 מהרדיו (d = 2r). ואז חבר את הרדיוס לנוסחה A = πr ² כדי לחשב את השטח.
- בדוגמה בתרשים, רדיוס הבסיס המעגלי של החרוט הוא 8 ס"מ. כשאנחנו מחברים את זה לנוסחה נקבל: A = π3².
- 3² = 3 * 3, או 0, אז A = 9π.
- A = 28,27 ב ²
4

מצא את גובה החרוט. זהו המרחק האנכי בין בסיס החרוט לקודקודו. בדוגמה שלנו, גובה החרוט הוא 13 ס"מ.
5

הכפל את גובה החרוט באזור הבסיס. בדוגמה שלנו, שטח הבסיס הוא 28,27in ² והגובה הוא 5in, אז bh = 28,27 * 5 = 141,35.
6
כעת הכפל את התוצאה ב- 0,33 (או פשוט חלקי ב- 3) כדי למצוא את נפח החרוט. בשלב שלעיל, למעשה חישבנו את נפח הגליל שייווצר אם קירות החרוט יתמתחו היישר לעיגול אחר, במקום להטות לנקודה אחת. חלוקה ב- 3 נותנת לנו את הנפח של החרוט עצמו בלבד.
- בדוגמה שלנו, 141,35 * 0,33 = 47,12, נפח החרוט שלנו.
- כדי לאחזר אותו, 0,33π3² 5 = 47,12
7

זכור להביע את תשובתך ביחידות מעוקבות. החרוט שלנו נמדד באינץ ', ולכן נפחו חייב לבוא לידי ביטוי באינץ' מעוקב: 47,12in ³.

האם אוכל לחשב את נפח הקופסה על ידי התבוננות במהירות שבה היא מתמלאת במים?

שיטה 6 מתוך 6: חישוב נפח כדור

1

לזהות כדור. כדור הוא אובייקט תלת מימדי עגול לחלוטין, בו כל נקודה על פני השטח נמצאת במרחק שווה מהמרכז. במילים אחרות, כדור הוא אובייקט בצורת כדור.
2

למדו את הנוסחה לנפח כדור. הנוסחה לנפח כדור היא V = 1,33πr ³ (נאמר: "ארבע שליש פעמים פי r- קוביות") כאשר r הוא רדיוס הכדור, ו- π הוא pi קבוע (3,14).
3

מצא את רדיוס הכדור. אם הרדיוס ניתן בתרשים, אז מציאת r היא פשוט עניין של איתורו. אם הקוטר ניתן, עליך לחלק את המספר הזה ב -2 כדי למצוא את הרדיוס. לדוגמא, רדיוס הכדור בתרשים הוא 8 סנטימטרים.
4
מדוד את הכדור אם הרדיוס לא ניתן. אם אתה צריך למדוד אובייקט כדור (כמו כדור טניס) כדי למצוא את הרדיוס, ראשית מצא חתיכת חוט גדולה מספיק כדי לעטוף את האובייקט. לאחר מכן כרכו את המיתר סביב האובייקט בנקודה הרחבה ביותר וסמנו את הנקודות בהן המחרוזת חופפת את עצמה. ואז מדוד את החוט בעזרת סרגל כדי למצוא את ההיקף. חלק את הערך ב- 2π, או 6,28, וזה ייתן לך את רדיוס הכדור.
- לדוגמא, אם אתה מודד כדור ומגלה שההיקף שלו הוא 46 סנטימטרים, חלק את המספר הזה ב -6,28 ותגלה שהרדיוס הוא 2,87 אינץ '.
- מדידת אובייקט כדורית יכולה להיות קצת מסובכת, לכן כדאי לכם לבצע 3 מדידות שונות ואז לממוצע ביחד (הוסיפו את שלוש המידות יחד, ואז חלקו ב -3) כדי לוודא שיש לכם את הערך המדויק ביותר האפשרי.
- לדוגמא, אם שלוש מדידות ההיקף שלך היו 46 ס"מ, 45 ס"מ ו 46 ס"מ, היית מוסיף את שלושת הערכים יחד (18 + 17,5 + 18,2 = 53,95) ומחלק את הערך ב -3 (53, 91.67 = 17,98). השתמש בערך ממוצע זה בחישובי הנפח שלך.
5

קוביה את הרדיוס כדי למצוא את r ³. קוביית מספר פירושה פשוט להכפיל את המספר כשלעצמו פי 3, לכן r ³ = r * r * r. בדוגמה שלנו, r = 3, אז r ³ = 3 * 3 * 3, או 27.
6

עכשיו הכפל את התשובה שלך ב -1,33. אתה יכול להשתמש במחשבון שלך, או לעשות את הכפל ביד ואז לפשט את השבר. בדוגמה שלנו, הכפל 27 ב- 1,33 = 102,67, או 36.
7
הכפל את התוצאה ב- π כדי למצוא את נפח הכדור. השלב האחרון בחישוב הנפח הוא פשוט להכפיל את התוצאה עד כה ב- π. עיגול π לשתי ספרות בדרך כלל מספיק לרוב הבעיות במתמטיקה (אלא אם כן המורה שלך ציין אחרת), לכן הכפל ב -3,14 ויש לך את התשובה שלך.
- בדוגמה שלנו, 36 * 3,14 = 113,09.
8

ביטא את תשובתך ביחידות מעוקבות. בדוגמה שלנו, מדידת רדיוס הכדור הייתה באינץ ', ולכן התשובה שלנו היא למעשה V = 113,09 אינץ' מעוקב (113,09 ב ^-3).

קרא גם: כיצד ללמד את לוחות הכפל לילדך?

כיצד מחשבים נפח?

צעדים

שיטה 1 מתוך 6: חישוב נפח קוביה

שיטה 2 מתוך 6: חישוב נפח פריזמה מלבנית

שיטה 3 מתוך 6: חישוב נפח גליל

שיטה 4 מתוך 6: חישוב נפח של פירמידה מרובעת רגילה

שיטה 5 מתוך 6: חישוב נפח חרוט

שיטה 6 מתוך 6: חישוב נפח כדור

שאלות ותשובות

תגובות (11)

קרא גם: