כיצד לחלק לוגריתמים?

כדי לחלק את הלוגריתמים ביד, התחל בבדיקת מספרים שליליים ומספרים שליליים.

לוגריתמים עשויים להיראות קשים לשימוש, אך בדיוק כמו אקספוננטים או פולינומים, עליכם רק ללמוד את הטכניקות הנכונות. אתה צריך לדעת רק כמה מאפיינים בסיסיים כדי לחלק שני לוגריתמים מאותו בסיס, או להרחיב לוגריתם המכיל מנה.

שיטה 1 מתוך 2: חלוקת לוגריתמים ביד

1
בדוק אם קיימים מספרים שליליים ומספרים. שיטה זו מכסה בעיות בטופס logb⁡ (x) logb⁡ (a) {\ displaystyle {\ frac {\ log _ {b} (x)} {\ log _ {b} (a)}}} ${\ frac {\ log _ {{b}} (x)} {\ log _ {{b}} (a)}}$ . עם זאת, זה לא עובד בכמה מקרים מיוחדים:
- יומן המספר השלילי אינו מוגדר עבור כל הבסיסים (כגון $\ log (-3)$ או $\ log _ {{4}} (- 5)$ ). כתוב "אין פיתרון."
- יומן האפס אינו מוגדר גם עבור כל הבסיסים. אם אתה רואה מונח כגון $\ ln (0)$ , כתוב "אין פיתרון."
- היומן של אחד בכל בסיס ( $\ יומן (1)$ ) שווה תמיד לאפס, שכן $X ^ {{0}} = 1$ לכל הערכים של x. החלף את הלוגריתם ב- 1 במקום להשתמש בשיטה הבאה.
- אם לשני הלוגריתמים יש בסיסים שונים, כגון ${\ frac {log _ {{3}} (x)} {log _ {{4}} (a)}}$ , ולא תוכלו לפשט אף אחד מהם אחד למספר שלם, הבעיה אינה אפשרית לפתור ביד.
2
המירו את הביטוי ללוגריתם אחד. בהנחה שלא מצאת אף אחד מהחריגים שלמעלה, כעת תוכל לפשט את הבעיה לוגריתם אחד. לשם כך, השתמש בנוסחה logb⁡ (x) logb⁡ (a) = loga⁡ (x) {\ displaystyle {\ frac {\ log _ {b} (x)} {\ log _ {b} (a) }} = \ log _ {a} (x)} ${\ frac {\ log _ {{b}} (x)} {\ log _ {{b}} (a)}} = \ log _ {{a}} (x)$ .
- דוגמה 1: פתר את הבעיה ${\ frac {\ log {16}} {\ log {2}}}$ .
  התחל בהמרה זו ללוגריתם אחד באמצעות הנוסחה שלעיל: ${\ frac {\ log {16}} {\ log {2}}} = \ log _ {{2}} (16)$ .
- נוסחה זו היא נוסחת "שינוי הבסיס", הנגזרת מתכונות לוגריתמיות בסיסיות.
אם לאחד הלוגריתמים החדשים בביטוי יש תשובה שלמה, פשוט אותם כעת.
3
חישוב ידני במידת האפשר. זכור, כדי לפתור את loga⁡ (x) {\ displaystyle \ log _ {a} (x)} $\ log _ {{a}} (x)$ , חשוב " a? = X {\ displaystyle a ^ {?} = X} $A ^ {{?}} = X$ " או "איזה מעריך אני יכול להעלות a על ידי להשיג x? " לא תמיד ניתן לפתור זאת ללא מחשבון, אך אם יתמזל מזלך, תקבל לוגריתם פשוט לפשוט.
- דוגמה 1 (המשך): $\ log _ {{2}} (16)$ מחדש את $log2⁡ (16) {\ displaystyle \ log _ {2} (16)}$ כ- $2 ^ {{?}} = 16$ . הערך של "?" היא התשובה לבעיה. יתכן שתצטרך למצוא אותו על ידי ניסוי וטעייה:
  $2 ^ {{2}} = 2 * 2 = 4$
  $2 ^ {{3}} = 4 * 2 = 8$
  $2 ^ {{4}} = 8 * 2 = 16$
  16 זה מה שחיפשת, אז $\ log _ {{2}} (16)$ = 4.
4
השאירו את התשובה בצורה לוגריתמית אם אינכם יכולים לפשט אותה. כמה לוגריתמים קשה מאוד לפתור ביד. תזדקק למחשבון אם אתה זקוק לתשובה למטרה מעשית. אם אתה פותר בעיות בשיעור המתמטיקה, סביר להניח שהמורה שלך מצפה שתשאיר את התשובה כ לוגריתם. הנה דוגמה נוספת המשתמשת בשיטה זו בבעיה קשה יותר:
- דוגמה 2: מה זה ${\ frac {\ log _ {{3}} (58)} {\ log _ {{3}} (7)}}$ ?
- המר את זה ללוגריתם אחד: ${\ frac {\ log _ {{3}} (58)} {\ log _ {{3}} (7)}} = \ log _ {{7}} (58)$ . (שימו לב שה _-3 בכל יומן התחלתי נעלמים; זה נכון לכל בסיס).
- כתוב מחדש כ- $7 ^ {{?}} = 58$ ובדוק ערכים אפשריים של?:
  $7 ^ {{2}} = 7 * 7 = 49$
  $7 ^ {{3}} = 49 * 7 = 343$
  מכיוון ש 58 נופלת בין שני המספרים הללו, ל $\ log _ {{7}} (58)$ אין תשובה שלמה.
- השאר את התשובה שלך כ- $\ log _ {{7}} (58)$ .

שיטה 2 מתוך 2: עבודה עם היומן של המנה

1
התחל עם בעיית חלוקה בתוך לוגריתם. סעיף זה עוזר לך לפתור בעיות הכוללות ביטויים בטופס loga⁡ (xy) {\ displaystyle \ log _ {a} ({\ frac {x} {y}})} $\ log _ {{a}} ({\ frac {x} {y}})$ .
- לדוגמה, התחל עם בעיה זו:
  " $\ log _ {{3}} ({\ frac {27} {6n}}) = - 6- \ log _ {{3}} (6)$ עבור n אם $log3⁡ (276n) = - 6 − log3⁡ (6) {\ displaystyle \ log _ {3} ({\ frac {27} {6n}}) = - 6- \ log _ {3} (6)}$ . "
אין לוגריתמים של מספרים שליליים בבעיית הדוגמה, כך שתוכל להמשיך לשלב הבא.
2
בדוק אם קיימים מספרים שליליים. הלוגריתם של מספר שלילי אינו מוגדר. אם x או y הם מספרים שליליים, ודא שיש לבעיה פתרון לפני שתמשיך:
- אם x או y הם שליליים, אין פיתרון לבעיה.
- אם שניהם x ו- y הם שליליים, הסר את הסימנים השליליים באמצעות המאפיין ${\ frac {-x} {- y}} = {\ frac {x} {y}}$
- אין לוגריתמים של מספרים שליליים בבעיית הדוגמה, כך שתוכל להמשיך לשלב הבא.
3
הרחב את המנה לשני לוגריתמים. מאפיין שימושי אחד של לוגריתמים מתואר על ידי הנוסחה loga⁡ (xy) = loga⁡ (x) −loga⁡ (y) {\ displaystyle \ log _ {a} ({\ frac {x} {y}}) = \ יומן _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)} $\ log _ {{a}} ({\ frac {x} {y}}) = \ log _ {{a}} (x) - \ log _ {{a}} (y)$ . במילים אחרות, היומן של המנה שווה תמיד ליומן של המונה פחות יומן המכנה.
- השתמש בזה כדי להרחיב את הצד השמאלי של בעיית הדוגמה:
  $\ log _ {{3}} ({\ frac {27} {6n}}) = \ log _ {{3}} (27) - \ log _ {{3}} (6n)$
- החלף זאת בחזרה למשוואה המקורית:
  $\ log _ {{3}} ({\ frac {27} {6n}}) = - 6- \ log _ {{3}} (6)$
  $\ log _ {{3}} (27) - \ log _ {{3}} (6n) = - 6- \ log _ {{3}} (6)$
4
לפשט את הלוגריתמים במידת האפשר. אם לאחד מהלוגריתמים החדשים בביטוי יש תשובה שלמה, פשוט אותם כעת.
- לבעיית הדוגמה יש מונח חדש: $\ log _ {{3}} (27)$ . מאז 3 ³ = 27, פשוט את $\ log _ {{3}} (27)$ ל -3.
- המשוואה המלאה היא כעת:
  $3- \ log _ {{3}} (6n) = - 6- \ log _ {{3}} (6)$
אתה צריך לדעת רק כמה מאפיינים בסיסיים כדי לחלק שני לוגריתמים מאותו בסיס, או להרחיב לוגריתם המכיל מנה.
5
בידוד את המשתנה. בדיוק כמו כל בעיה באלגברה, זה עוזר לבודד את המונח עם המשתנה בצד אחד של המשוואה. שלב מונחים דומים במידת האפשר כדי לפשט את המשוואה.
- $3- \ log _ {{3}} (6n) = - 6- \ log _ {{3}} (6)$
  $9- \ log _ {{3}} (6n) = - \ log _ {{3}} (6)$
  $\ log _ {{3}} (6n) = 9 + \ log _ {{3}} (6)$ .
6
השתמש בתכונות נוספות של לוגריתמים במידת הצורך. כדי לבודד את המשתנה ממונחים אחרים בתוך אותו לוגריתם, כתוב מחדש את המונח באמצעות מאפייני לוגריתם אחרים.
- בבעיית הדוגמה, ה- n עדיין נלכד בתוך המונח $\ log _ {{3}} (6n)$ .
  על מנת לבודד את ה- n, השתמש במאפיין המוצר של לוגריתמים: $\ log _ {{a}} (bc) = \ log _ {{a}} (b) + \ log {a} (c)$
  $\ log _ {{3}} (6n) = \ log _ {{3}} (6) + \ log _ {{3}} (n)$
- החלף זאת בחזרה למשוואה המלאה:
  $\ log _ {{3}} (6n) = 9 + \ log _ {{3}} (6)$
  $\ log _ {{3}} (6) + \ log _ {{3}} (n) = 9 + \ log _ {{3}} (6)$
7
המשך לפשט עד שתמצא את הפתרון. חזור על אותן טכניקות אלגברה ולוגריתמית כדי לפתור את הבעיה. אם אין פתרון שלם, השתמש במחשבון ועגל לנתון המשמעותי הקרוב ביותר.
- $\ log _ {{3}} (6) + \ log _ {{3}} (n) = 9 + \ log _ {{3}} (6)$
  $\ log _ {{3}} (n) = 9$
  מאז 3⁹ = 19683, n = 19683