כיצד לפתור פולינומים בדרגה גבוהה יותר?

כדי לפתור פולינומים בדרגה גבוהה יותר, הוצא גורמים משותפים מכל המונחים כדי לפשט את הפולינום ככל האפשר.

לפתרון פולינום בדרגה גבוהה יותר יש מטרה זהה לביטוי ריבועי או לביטול אלגברה פשוט: פקטור אותו ככל האפשר, ואז השתמש בגורמים כדי למצוא פתרונות לפולינום ב- y = 0. ישנן גישות רבות לפתרון פולינומים עם $X ^ {3}$ מונח ומעלה. ייתכן שיהיה עליך להשתמש בכמה לפני שתמצא אחד שמתאים לבעיה שלך.

שיטה 1 מתוך 2: זיהוי גורמים

1
פקטור גורמים נפוצים מכל המונחים. אם לכל מונח בפולינום יש גורם משותף, הביא אותו לפשט את הבעיה. זה לא אפשרי עם כל הפולינומים, אבל זו גישה טובה לבדוק קודם.
- דוגמה 1: לפתור x בפולינום $2x ^ {{3}} + 12x ^ {{2}} + 16x = 0$ .
  כל מונח מתחלק ב -2x, אז פקטור זה:
  $(2x) (x ^ {{2}}) + (2x) (6x) + (2x) (8) = 0$
  $= (2x) (x ^ {{2}} + 6x + 8)$
  עכשיו פתור את המשוואה הריבועית באמצעות הנוסחה הריבועית או הפקטורינג:
  $(2x) (x + 4) (x + 2) = 0$
  הפתרונות הם ב- 2x = 0, x + 4 = 0 ו- x + 2 = 0.
  הפתרונות הם x = 0, x = -4 ו- x = -2.
2
זהה פולינומים שפועלים כמו ריבועי. סביר להניח שאתה כבר יודע לפתור פולינומים מדרגה שנייה, בצורה ax2 + bx + c {\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c} $גרזן ^ {{2}} + bx + c$ . אתה יכול לפתור כמה פולינומים בדרגה גבוהה יותר באותה דרך, אם הם בצורה ax2n + bxn + c {\ displaystyle ax ^ {2n} + bx ^ {n} + c} $גרזן ^ {{2n}} + bx ^ {{n}} + ג$ . להלן מספר דוגמאות:
- דוגמה 2: $3x ^ {{4}} + 4x ^ {{2}} - 4 = 0$
  תן $A = x ^ {{2}}$ :
  $3a ^ {{2}} + 4a-4 = 0$
  פתר את הריבוע בכל שיטה:
  $(3a-2) (a + 2) = 0$ אז a = -2 או a = 0,67
  תחליף $X ^ {2}$ ל- a: $X ^ {{2}} = - 2$ או $X ^ {{2}} = 0,67$
  x = ± √ (0,67). למשוואה האחרת, $X ^ {{2}} = - 2$ , אין פיתרון אמיתי. (אם משתמשים במספרים מורכבים, פתרו כ x = ± i√2).
- דוגמה 3: $X ^ {{5}} + 7x ^ {{3}} - 9x = 0$ לא עוקב אחר התבנית הזו, אך שימו לב שתוכלו לחשב את x:
  $(x) (x ^ {{4}} + 7x ^ {{2}} - 9) = 0$
  עכשיו אתה יכול לטפל ב- $X ^ {{4}} + 7x ^ {{2}} - 9$ כריבועית, כפי שמוצג בדוגמה 2.
3
סכומי פקטור או הפרשי קוביות. מקרים מיוחדים אלה נראים קשים לפקטור, אך יש להם תכונות המקלות על הבעיה:
- סכום הקוביות: פולינום בצורה $A ^ {{3}} + b ^ {{3}}$ גורמים ל- $(a + b) (a ^ {{2}} - ab + b ^ {{2}})$ .
- הבדל קוביות: פולינום בצורה $A ^ {{3}} - ב ^ {{3}}$ גורמים ל- $(ab) (a ^ {{2}} + ab + b ^ {{2}})$ .
- שים לב שהחלק הריבועי של התוצאה אינו ניתן למניעה.
- שים לב ש- $X ^ {6}$ , $X ^ {9}$ ו- x לכל כוח המתחלק ב -3 - כולם מתאימים לתבניות אלה.
4
חפש דפוסים כדי למצוא גורמים אחרים. לפולינומים שאינם נראים כמו הדוגמאות שלעיל לא עשויים להיות גורמים ברורים. אך לפני שתנסה את השיטות שלמטה, נסה לחפש גורם דו-מונחי (כגון "x + 3"). קיבוץ מונחים בסדרים שונים ופקטור חלק מהפולינומי עשוי לעזור לכם למצוא מונחים. לא תמיד זו גישה ברת ביצוע, אז אל תשקיע יותר מדי זמן בניסיון אם נראה שגורם משותף לא נראה סביר.
- דוגמה 4: $-3x ^ {{3}} - x ^ {{2}} + 6x + 2 = 0$
  אין לזה גורם ברור, אבל אתה יכול לפקח על שני המונחים הראשונים ו ראה מה קורה:
  $(-x ^ {{2}}) (3x + 1) + 6x + 2 = 0$
  עכשיו פקטור את שני המונחים האחרונים (6x +2), מכוון לגורם משותף:
  $(-x ^ {{2}}) (3x + 1) + (2) (3x + 1) = 0$
  כתוב מחדש את זה באמצעות הגורם המשותף, 3x + 1:
  $(3x + 1) (- x ^ {{2}} + 2) = 0$

סביר להניח שכבר יודעים לפתור טקסטים פולינומים מדרגה שנייה.

שיטה 2 מתוך 2: שורשים רציונליים וחלוקה סינתטית

1
נסה לזהות שורש אחד של הפולינום. חלוקה סינתטית היא דרך שימושית לפקטור פולינומים מסדר גבוה, אך היא פועלת רק אם אתה מכיר את אחד השורשים (או "האפסים") כבר. יתכן שתוכל למצוא זאת באמצעות פקטורינג כמתואר לעיל, או שהבעיה עשויה לספק כזו. אם כן, דלג להוראות החלוקה הסינתטית. אם אינך יודע שורש, המשך לשלב הבא כדי לנסות למצוא אותו.
- שורש הפולינום הוא הערך של x שעבורו y = 0. הכרת שורש c נותנת לך גם גורם של הפולינום, (x - c).

המשך לקרוא כדי ללמוד כיצד לפתור פולינום בדרגה גבוהה יותר עם חלוקה סינתטית!

בודק שורשים רציונליים

1
ציין את גורמי המונח הקבוע. מבחן "השורשים הרציונליים" הוא דרך לנחש על ערכי שורש אפשריים. כדי להתחיל, רשום את כל גורמי הקבוע (המונח ללא משתנה).
- דוגמה: לפולינום $2x ^ {{3}} + x ^ {{2}} - 12x + 9$ יש המונח הקבוע 9. הגורמים שלו הם 1, 3 ו- 9.
2
ציין את גורמי המקדם המוביל. זהו המקדם במונח הראשון של הפולינום, כאשר הוא מסודר מהטווח הגבוה ביותר לנמוך ביותר. ציין את כל הגורמים במספר זה בשורה נפרדת.
- דוגמה (המשך): $2x ^ {{3}} + x ^ {{2}} - 12x + 9$ מקדם מוביל של 2. הגורמים שלו הם 1 ו -2.
3
מצא את השורשים האפשריים. אם לפולינום יש שורש רציונלי (שהוא אולי לא), הוא חייב להיות שווה ל- ± (גורם קבוע) / (גורם של המקדם המוביל). רק מספר c בצורה זו יכול להופיע בגורם (xc) של הפולינום המקורי.
- דוגמה (המשך): כל שורשים רציונליים של פולינום זה הם בצורה (1, 3 או 9) חלקי (1 או 2). האפשרויות כוללות ± 1, ± 0,5, ± 3, ± 1,5, ± 9, או ± 4,5. אל תשכח את ה" ± ": כל אחת מהאפשרויות הללו יכולה להיות חיובית או שלילית.
4
בדוק שורשים עד שתמצא אחד שמתאים. מובטח כי אף אחד מאלה אינו שורשים, כך שתצטרך לבדוק אותם בפולינום המקורי.
- דוגמה: (1 = 1) הוא שורש אפשרי. אם יתברר כי מדובר בשורש ממשי, חיבורו לפולינום אמור לגרום לאפס.
  $2 (1) ^ {{3}} + (1) ^ {{2}} - 12 (1) + 9 = 2 + 1-12 + 9 = 0$ , ולכן 1 מאושר כשורש.
  משמעות הדבר היא כי לפולינום יש את הגורם (x-1).
- אם אף אחת מהאפשרויות לא מסתדרת, לפולינום אין שורשים רציונליים ולא ניתן להתייחס אליו.

חלוקה סינתטית

1
הגדר בעיית חלוקה סינתטית. חלוקה סינתטית היא דרך למצוא את כל הגורמים לפולינום, אם אתה כבר מכיר אחד מהם. כדי להגדיר אותו, כתוב שורש לפולינום. שרטט קו אנכי מימינו, ואז כתוב את מקדמי הפולינום שלך המסודרים מהמערך הגבוה ביותר לנמוך. (אינך צריך לכתוב את המונחים עצמם, אלא רק את המקדמים).
- הערה: יתכן שתצטרך להוסיף מונחים עם מקדם אפס. לדוגמה, שכתב את הפולינום $X ^ {3} + 2x$ כ- $X ^ {3} + 0x ^ {2} + 2x + 0$ .
- דוגמה (המשך): מבחן השורשים הרציונלי לעיל אמר לנו כי לפולינום $2x ^ {{3}} + x ^ {{2}} - 12x + 9$ יש את השורש 1.
  כתוב את השורש 1, ואחריו קו אנכי, ואחריו מקדמי הפולינום:
  ${\ begin {pmatrix} 1 | and2and1and-12and9 \ end {pmatrix}}$
2
הורידו את המקדם הראשון. העתק את המקדם הראשון לשורת התשובה. השאירו שורה ריקה בין שני המספרים לחישובים מאוחרים יותר.
- דוגמה (המשך): העבירו את 2 למטה לשורת התשובה:
  ${\ begin {pmatrix} 1 | and2and1and-12and9 \\\\ and2 \ end {pmatrix}}$
3
הכפל את המספר הזה בשורש. כתוב את התשובה ישירות מתחת למונח הבא, אך לא על שורת התשובה.
- דוגמה (המשך): הכפל את השניים בשורש, 1, כדי לקבל שוב 2. כתוב את 2 זה בעמודה הבאה, אך בשורה השנייה במקום בשורת התשובה:
  ${\ begin {pmatrix} 1 | and2and1and-12and9 \\ andand2 \\ and2 \ end {pmatrix}}$
4
הוסף את תוכן העמודה יחד כדי לקבל את החלק הבא של התשובה. עמודת המקדם השנייה מכילה כעת שני מספרים. סיכמו אותם וכתבו את התוצאה על שורת התשובות ישירות מתחתיהן.
- דוגמה (המשך): 1 + 2 = 3
  ${\ begin {pmatrix} 1 | and2and1and-12and9 \\ andand2 \\ and2and3 \ end {pmatrix}}$
5
הכפל את התוצאה בשורש. בדיוק כמו שעשיתם קודם, הכפלו את המספר האחרון בשורת התשובה בשורש. כתוב את תשובתך מתחת למקדם הבא.
- דוגמה (המשך): 1 x 3 = 3:
  ${\ begin {pmatrix} 1 | and2and1and-12and9 \\ andand2and3 \\ and2and3 \ end {pmatrix}}$
6
מצא את סכום העמודה הבאה. כמו קודם, הוסיפו את שני המספרים בעמודה וכתבו את התוצאה בשורת התשובה.
- דוגמה (המשך): -12 + 3 = -9:
  ${\ begin {pmatrix} 1 | and2and1and-12and9 \\ andand2and3 \\ and2and3and-9 \ end {pmatrix}}$
7
חזור על תהליך זה עד שתגיע לטור הסופי. המספר האחרון בשורת התשובה שלך תמיד יהיה אפס. אם אתה מקבל תוצאה אחרת, בדוק אם קיימות טעויות בעבודה שלך.
- דוגמה (המשך): הכפל את -9 בשורש 1, כתוב את התשובה מתחת לעמודה הסופית, ואז אשר שסכום העמודה הסופית הוא אפס:
  ${\ begin {pmatrix} 1 | and2and1and-12and9 \\ andand2and3and-9 \\ and2and3and-9and0 \ end {pmatrix}}$
8
השתמש בשורת התשובות כדי למצוא גורם אחר. חילקת כעת את הפולינום במונח (x - c), כאשר c הוא הגורם שלך. שורת התשובה מציגה את המקדם של כל מונח בתשובתך. X חלק כול מונח בעל מעריך אחת נמוך יותר בטווח המקורי ישירות מעליו.
- דוגמא (המשך): שורת התשובה היא 2 3 -9 0, אך ניתן להתעלם מהאפס הסופי.
  מכיוון שהמונח הראשון של הפולינום המקורי כלל $X ^ {3}$ , המונח הראשון של תשובתך נמוך יותר בדרגה אחת: $X ^ {2}$ . לכן, המונח הראשון הוא $2x ^ {2}$
  חזור על תהליך זה כדי לקבל את התשובה $2x ^ {2} + 3x-9$ .
  עכשיו $2x ^ {{3}} + x ^ {{2}} - 12x + 9$ לתוך $(x-1) (2x ^ {2} + 3x-9)$ .
9
חזור על הפעולה במידת הצורך. יתכן שתוכלו למקד את תשובתכם לחלקים קטנים יותר באמצעות אותה שיטת חלוקה סינתטית. עם זאת, ייתכן שתוכל להשתמש בשיטה מהירה יותר לסיום הבעיה. לדוגמה, ברגע שיש לך ביטוי ריבועי, אתה יכול לעשות זאת לפי הנוסחה הריבועית.
- זכור שכדי להתחיל בשיטת החלוקה הסינטטית, תצטרך לדעת כבר שורש אחד. השתמש שוב במבחן השורשים הרציונלי כדי להשיג זאת. אם אף אחת מאפשרויות השורש הרציונליות לא נבדקת, לא ניתן לבטא את הביטוי.
- דוגמה (המשך) מצאת את הגורמים $(x-1) (2x ^ {2} + 3x-9)$ , אך ניתן לשבור את הגורם השני למטה עוד. נסה את המשוואה הריבועית, הפקטורינג המסורתי או החלוקה הסינתטית.
  התשובה הסופית היא $(x-1) (x + 3) (2x-3)$ , כך ששורשי הפולינום הם x = 1, x = -3 ו- x = 1,5.

אם לכל מונח בפולינום יש גורם משותף, הביא אותו לפשט את הבעיה.

טיפים

תנאי שורשים, אפסים, ואת פתרונות לכל מתייחסים לערכי x שהופכים f (x) = 0. הם עשויים לשמש לסירוגין.
נוסחאות קוביות ורבעיות קיימות בדומה לנוסחה הריבועית, אך הן הרבה יותר מסובכות ואינן משמשות לעתים קרובות אלא על ידי המחשב. לפולינומים בדרגה 5 ומעלה אין פיתרון כללי תוך שימוש בטכניקות אלגבריות פשוטות, אך ניתן לחשוב על כמה דוגמאות באמצעות הגישות לעיל.
שלט הסימנים של Descartes לא יגיד לך את הפיתרון, אך הוא יכול לחזות כמה פתרונות ייחודיים ואמיתיים יש. בצע את הצעדים הבאים כדי לברר אם מצאת את כל הפתרונות האפשריים:
- סדר את הפולינום ממונח הדרגה הגבוה ביותר לנמוך ביותר:
  $X ^ {5} -x ^ {4} -2x ^ {2} + x + 1$
- התעלם מהתנאים וכתוב רק את הסימנים שלהם (חיוביים או שליליים)
  + - ++
- ספר את מספר הפעמים שהסימנים התחלפו מ + ל - או להיפך, נעים משמאל לימין:
  הרצף + - ++ מעביר את הסימנים פעמיים.
- מספר פתרונות אמיתיים הוא גם שווה למספר זה, או שווה למספר זה מינוס 2 n, כאשר n הוא מספר שלם.
  בדוגמה זו יתכנו 2 פתרונות, או שיהיו 0.
  בבעיה היפותטית אחרת בה המונחים משתנים סימנים שבע פעמים, מספר הפתרונות יכול להיות 7, 5, 3 או 1.

אזהרות

אם אתה מקבל שורש דמיוני (ואתה עובד עם בעיה שבה שורשים דמיוניים חשובים), אל תשכח שיהיה אפס במספר הזה ובצמידה המורכבת שלו. אם (x-3i) הוא שורש, אז זה גם (x + 3i).

קרא גם: כיצד לגרום להבדל בין שני ריבועים מושלמים?