כיצד לפתור פולינומים?
כדי לפתור פולינום ליניארי, הגדירו את המשוואה לאפס, ואז בידדו ופתרו את המשתנה. לפולינום ליניארי תהיה תשובה אחת בלבד. אם עליך לפתור פולינום ריבועי, כתוב את המשוואה בסדר הדרגה הגבוהה ביותר לנמוך ביותר ואז הגדר את המשוואה לאפס. כתוב מחדש את הביטוי כביטוי בן 4 מונחים וגורם למשוואה לפי קיבוץ. שכתב את הפולינום כשני בינומים ופתור כל אחד מהם. אם ברצונך ללמוד כיצד לפשט ולפתור את המונחים שלך במשוואה פולינומית, המשך לקרוא את המאמר!
לפולינומים בדרגה נמוכה יותר יהיו אפס, אחד או שניים פתרונות אמיתיים, תלוי אם הם פולינומים ליניאריים או פולינומים ריבועיים.
פולינום הוא ביטוי המורכב מהוספת ומחסור מונחים. מונחים יכולים להיות מורכבים מקבועים, מקדמים ומשתנים. כאשר פותרים פולינומים, אתה בדרך כלל מנסה להבין אילו ערכי x y = 0. לפולינומים בדרגה נמוכה יותר יהיו אפס, אחד או שניים פתרונות אמיתיים, תלוי אם הם פולינומים ליניאריים או פולינומים ריבועיים. ניתן לפתור סוגים אלה של פולינומים בקלות באמצעות אלגברה בסיסית ושיטות פקטורינג. לקבלת עזרה בפתרון פולינומים בדרגה גבוהה יותר, קרא פתרון פולינומים בדרגה גבוהה יותר.
שיטה 1 מתוך 2: פתרון פולינום ליניארי
- 1קבע אם יש לך פולינום ליניארי. פולינום ליניארי הוא פולינום מהדרגה הראשונה. המשמעות היא שלשום משתנה לא יהיה אקספוננט גדול מאחד. מכיוון שמדובר בפולינום מדרגה ראשונה, יהיה לו בדיוק שורש, או פיתרון אמיתי אחד.
- לדוגמא, 5x + 2 {\ displaystyle 5x + 2} הוא פולינום ליניארי, מכיוון שלמשתנה x {\ displaystyle x} אין אקספוננט (שזה כמו אקספוננט של 1).
- 2הגדירו את המשוואה לאפס. זהו שלב הכרחי לפתרון כל הפולינומים.
- לדוגמה, 5x + 2 = 0 {\ displaystyle 5x + 2 = 0}
- 3בידוד את המונח המשתנה. לשם כך יש להוסיף או להפחית את הקבוע משני צידי המשוואה. קבוע הוא מונח ללא משתנה.
- לדוגמא, כדי לבודד את המונח x {\ displaystyle x} ב- 5x + 2 = 0 {\ displaystyle 5x + 2 = 0} , תגרע 2 {\ displaystyle 2} משני צידי המשוואה:
5x + 2 = 0 {\ displaystyle 5x + 2 = 0}
5x + 2−2 = 0−2 {\ displaystyle 5x + 2-2 = 0-2}
5x = -2 {\ displaystyle 5x = -2}
כיצד אוכל לפתור פולינומים מסובכים? - לדוגמא, כדי לבודד את המונח x {\ displaystyle x} ב- 5x + 2 = 0 {\ displaystyle 5x + 2 = 0} , תגרע 2 {\ displaystyle 2} משני צידי המשוואה:
- 4לפתור את המשתנה. בדרך כלל יהיה עליכם לחלק כל צד של המשוואה במקדם. זה ייתן לך את השורש, או הפיתרון, לפולינום שלך.
- לדוגמה, כדי לפתור x {\ displaystyle x} ב- 5x = −2 {\ displaystyle 5x = -2} , תחלק כל צד של המשוואה ב- 5 {\ displaystyle 5} :
5x = −2 {\ displaystyle 5x = -2}
5x5 = −25 {\ displaystyle {\ frac {5x} {5}} = {\ frac {-2} {5}}}
x = −25 {\ displaystyle x = {\ frac {-2} {5}}}
אז, הפתרון ל- 5x + 2 {\ displaystyle 5x + 2} הוא x = −25 {\ displaystyle x = {\ frac {-2} {5}}} .
- לדוגמה, כדי לפתור x {\ displaystyle x} ב- 5x = −2 {\ displaystyle 5x = -2} , תחלק כל צד של המשוואה ב- 5 {\ displaystyle 5} :
שיטה 2 מתוך 2: פתרון פולינום ריבועי
- 1קבע אם יש לך פולינום ריבועי. פולינום ריבועי הוא פולינום של התואר השני. המשמעות היא שלאף משתנה לא יהיה אקספוננט גדול מ- 2. מכיוון שמדובר בפולינום מדרגה שנייה, יהיו לו שני שורשים אמיתיים, או פתרונות.
- לדוגמה, x2 + 8x − 20 {\ displaystyle x ^ {2} + 8x-20} הוא פולינום ריבועי, מכיוון שלמשתנה x {\ displaystyle x} יש מערך 2 {\ displaystyle 2} .
- 2וודא שהפולינום כתוב לפי סדר התואר. זה אמצעי שהמונח עם המעריך של 2 {\ displaystyle 2} מופיע ראשון, ואחריה המונח מהדרגה הראשון, ואחריה מתמיד.
- לדוגמא, תכתוב מחדש 8x + x2−20 {\ displaystyle 8x + x ^ {2} -20} כ- x2 + 8x − 20 {\ displaystyle x ^ {2} + 8x-20} .
- 3הגדירו את המשוואה לאפס. זהו שלב הכרחי לפתרון כל הפולינומים.
- לדוגמה, x2 + 8x − 20 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + 8x-20 = 0} .
- 4כתוב מחדש את הביטוי כביטוי בן ארבע מונחים. לשם כך, חלק את המונח מדרגה ראשונה (המונח x {\ displaystyle x} ). אתה מחפש שני מספרים שסכומם שווה למקדם הדרגה הראשונה, והמוצר שלהם שווה לקבוע.
- לדוגמא, עבור הפולינום המרובע x2 + 8x − 20 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + 8x-20 = 0} , עליכם למצוא שני מספרים ( {\ displaystyle a} ו- b {\ displaystyle b} ), כאשר a + b = 8 {\ displaystyle a + b = 8} , ו- a⋅b = −20 {\ displaystyle a \ cdot b = -20} .
- מכיוון שיש לך -20 {\ displaystyle -20} , אתה יודע שאחד מהמספר יהיה שלילי.
- אתה אמור לראות ש- 10 + (- 2) = 8 {\ displaystyle 10 + (- 2) = 8} ו- 10⋅ (−2) = - 20 {\ displaystyle 10 \ cdot (-2) = - 20} . לפיכך, תוכלו לפצל את 8x {\ displaystyle 8x} לתוך 10x-2x {\ displaystyle 10x-2x} ו לשכתב את פולינום ממעלה שנייה: x2 + 10x-2x-20 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + 10x-2x -20 = 0} .
לקבלת עזרה בפתרון פולינומים בדרגה גבוהה יותר, קרא פתרון פולינומים בדרגה גבוהה יותר. - 5גורם לפי קיבוץ. לשם כך, הוצא מונח משותף לשני המונחים הראשונים בפולינום.
- לדוגמה, שני המונחים הראשונים בפולינום x2 + 10x − 2x − 20 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + 10x-2x-20 = 0} הם x2 + 10x {\ displaystyle x ^ {2} + 10x } . מונח המשותף לשניהם הוא x {\ displaystyle x} . לפיכך, הקבוצה המצורפת היא x (x + 10) {\ displaystyle x (x + 10)} .
- 6פקטור הקבוצה השנייה. לשם כך, הוציאו מונח משותף לשני המונחים השניים בפולינום.
- לדוגמה, שני המונחים השניים בפולינום x2 + 10x − 2x − 20 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + 10x-2x-20 = 0} הם −2x − 20 {\ displaystyle -2x-20} . מונח המשותף לשניהם הוא −2 {\ displaystyle -2} . לפיכך, הקבוצה המצורפת היא −2 (x + 10) {\ displaystyle -2 (x + 10)} .
- 7שכתב את הפולינום כשני בינומים. בינומיאל הוא ביטוי דו-מונחי. כבר יש לך בינומי אחד, שהוא הביטוי בסוגריים לכל קבוצה. ביטוי זה צריך להיות זהה לכל קבוצה. הבינום השני נוצר על ידי שילוב של שני המונחים שנחשבו מכל קבוצה.
- לדוגמא, לאחר פקטורינג לפי קיבוץ, x2 + 10x − 2x − 20 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + 10x-2x-20 = 0} הופך ל- x (x + 10) −2 (x + 10) = 0 {\ displaystyle x (x + 10) -2 (x + 10) = 0} .
- הבינום הראשון הוא (x + 10) {\ displaystyle (x + 10)} .
- הבינום השני הוא (x − 2) {\ displaystyle (x-2)} .
- אז ניתן לכתוב את הפולינום המרובע המקורי, x2 + 8x − 20 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + 8x-20 = 0} כביטוי המצורף (x + 10) (x − 2) = 0 {\ displaystyle (x + 10) (x-2) = 0} .
- 8מצא את השורש, או הפיתרון הראשון. לשם כך, פתר x {\ displaystyle x} בדף הבינומי הראשון.
- לדוגמה, כדי למצוא את השורש הראשון של (x + 10) (x − 2) = 0 {\ displaystyle (x + 10) (x-2) = 0} , תחילה תגדיר את הביטוי הדו-ממדי הראשון ל- 0 {\ להציג סגנון 0} ולפתור עבור x {\ displaystyle x} . כך:
x + 10 = 0 {\ displaystyle x + 10 = 0}
x + 10−10 = 0−10 {\ displaystyle x + 10-10 = 0-10}
x = −10 {\ displaystyle x = -10}
לכן, השורש הראשון של הפולינום המרובע x2 + 8x − 20 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + 8x-20 = 0} הוא −10 {\ displaystyle -10} .
- לדוגמה, כדי למצוא את השורש הראשון של (x + 10) (x − 2) = 0 {\ displaystyle (x + 10) (x-2) = 0} , תחילה תגדיר את הביטוי הדו-ממדי הראשון ל- 0 {\ להציג סגנון 0} ולפתור עבור x {\ displaystyle x} . כך:
- 9מצא את השורש השני, או הפתרון. לשם כך, פתר את x {\ displaystyle x} בדף הבינומי השני.
- לדוגמא, כדי למצוא את השורש השני ל- (x + 10) (x − 2) = 0 {\ displaystyle (x + 10) (x-2) = 0} , היית מגדיר את הביטוי הדו-שנתי השני ל- 0 {\ displaystyle 0} ולפתור עבור x {\ displaystyle x} . לפיכך:
x − 2 = 0 {\ displaystyle x-2 = 0}
x − 2 + 2 = 0 + 2 {\ displaystyle x-2 + 2 = 0 + 2}
x = 2 {\ displaystyle x = 2}
אז, השורש השני של הפולינום הרביעי x2 + 8x − 20 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + 8x-20 = 0} הוא 2 {\ displaystyle 2} .
- לדוגמא, כדי למצוא את השורש השני ל- (x + 10) (x − 2) = 0 {\ displaystyle (x + 10) (x-2) = 0} , היית מגדיר את הביטוי הדו-שנתי השני ל- 0 {\ displaystyle 0} ולפתור עבור x {\ displaystyle x} . לפיכך:
כדי לפתור פולינום ליניארי, הגדירו את המשוואה לאפס, ואז בידדו ופתרו את המשתנה.
- אל תדאג אם אתה מקבל משתנים שונים, כמו t, או אם אתה רואה משוואה מוגדרת ל- f (x) במקום 0. אם השאלה רוצה שורשים, אפסים או גורמים, פשוט התייחס אליה כמו לכל בעיה אחרת.
- זכרו את סדר הפעולות בזמן העבודה - תחילה עבדו בסוגריים, לאחר מכן בצעו את הכפל והחילוק, ולבסוף עשו את החיבור והחיסור.
שאלות ותשובות
- כיצד אוכל לפתור את x4 - x2 = 0x ^ 4 - x² = x² (x² - 1) = 0. לכן, x² = 0, או x² - 1 = 0. אם x² = 0, אז x = 0. אם x² - 1 = 0, אז x = + / -1.
- איך הגעת ל -2 בדף הבינומי השני?המשוואה המקורית הייתה 5x + 2 = 0. ואז הופחתו 2 משני צידי המשוואה על מנת להתחיל בתהליך הפתרון של x. זה הביא ל -5x = -2.
- מה אני מקבל אם אני מוסיף x - 2 ו- 1 / x?אתה מקבל x - 2 + 1 / x.
- כיצד אוכל לפתור את המשוואה 4x ^ 3 + 3x = 0?4x³ + 3x = x (4x² + 3) = 0. ואז x = 0, או (4x² + 3) = 0. במקרה האחרון, 4x² = -3, x² = - 0,75, ו- x הוא שורש הריבוע של מספר שלילי, שהוא מספר "דמיוני". אם אנו מגבילים את תשובתנו למספרים "אמיתיים", x = 0.
- כיצד אוכל לפתור את הפולינום x - 2 = 0?הוסף 2 לשני צידי המשוואה.
- כיצד אוכל לפתור את y ^ 3 - 2y ^ 2 - 9j + 18 = 0?מכיוון שלמשוואה יש שני משתנים לא ידועים (y ו- j), לא ניתן לפתור אותה. כשיש לך שני לא ידועים, אתה זקוק לשתי משוואות עצמאיות באותם לא ידועים על מנת לפתור אותם.
- כיצד אוכל לפתור את המשוואה (x ^ 3 + 6) (x ^ 3-7)?זו לא משוואה, ולכן אי אפשר "לפתור אותה". במילים אחרות, לא ניתן למצוא שום ערך עבור x. עם זאת, אם אתה רק רוצה לבצע את הכפל, תקבל את המוצר x ^ 6 - x³ - 42.
- כיצד אוכל לפתור 25x ^ 3 = 64x?חלק את שני צידי המשוואה ב- x: 25x² = 64. ואז מצא את השורש הריבועי של שני הצדדים: +/- 5x = +/- 8. אז x = +/- 1,6.
- לגבי טרינום, האם הייתי הופך אותם לפולינומים רבועים ואז לבינומים?כן. כדי לפתח טרינום, עליך לפצל אותו לפולינום ריבועי.
- גרזן * 4 - 4x * 3 + bx * 2 - 100x + 24. כאשר x = 4, איך אוכל לפתור את זה?מכיוון ש- x = 4, משפט השאר קובע כי P (4) = 0. אז תת P (4) = 0, למעשה פתר עבור A.
שאלות ללא מענה
- כיצד אוכל לפתור אם (x - 2) הוא גורם f (x) = 4x3 - 19x2 + ax - 14, וצריך למצוא, (a) את הערך של הקבוע a ו- (b) לפתח ולפתור את הפולינום?
- כיצד אוכל לפתור פולינומים מסובכים?
- אם x-1 ו- x-2 הם גורמים למשוואת הפולינום X³ + ax² -7x + b, כאשר a ו- b קבועים מהו הגורם השלישי וקבוע a ו- b?
