כיצד להפחית מטריצות בשורה?

Quentin Taylor
Quentin Taylor
• 13 דקות קריאה
משוואת המטריצה היא הבסיס הבסיסי של צמצום השורות
משוואת המטריצה היא הבסיס הבסיסי של צמצום השורות.

אם אי פעם למדת קורס אלגברה בחטיבת הביניים או בתיכון, כנראה נתקלת בבעיה כמו זו: פתר x {\ displaystyle x } ו- y. {\ Displaystyle y.}

3x + 8y = −339x + y = −30 {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} & 3x + 8y = -33 \\ & 9x + y = -30 \ סוף {מיושר}}}

איך אוכל לדעת אם הפתרון הוא ייחודי או לא ייחודי
איך אוכל לדעת אם הפתרון הוא ייחודי או לא ייחודי?

בעיות אלה נקראות מערכות משוואות. לעתים קרובות הם דורשים ממך לתפעל את אחת המשוואות באופן שתוכל להשיג את הערכים של המשתנים האחרים. אבל מה אם יש לך 5 משוואות? או 50? או מעל 200000, כמו הרבה בעיות שנתקלו בחיים האמיתיים? זו הופכת למשימה הרבה יותר מרתיעה. דרך נוספת להתמודד עם בעיה זו היא חיסול גאוס-ירדן, או צמצום שורות.

חלק 1 מתוך 4: הגדרת המטריצה

  1. 1
    קבע אם צמצום שורות מתאים לבעיה. לא ניתן מאוד לפתור מערכת של שני משתנים, ולכן לצמצום שורות אין יתרונות על פני החלפה או חיסול רגיל. עם זאת, תהליך זה הופך לאיטי בהרבה ככל שמספר המשוואות עולה. צמצום שורות מאפשר לך להשתמש באותן טכניקות, אך באופן שיטתי יותר. להלן אנו רואים מערכת של 4 משוואות עם 4 לא ידועים.
    • x1 + x2 + 2x3 = 12x1 − x2−2x4 = −2x1 − x2 − x3 + x4 = 42x1 − x2 + 2x3 = 0 {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} & x_ {1} + x_ {2} + 2x_ {3 } = 1 \\ & 2x_ {1} -x_ {2} -2x_ {4} = - 2 \\ & x_ {1} -x_ {2} -x_ {3} + x_ {4} = 4 \\ & 2x_ {1 } -x_ {2} + 2x_ {3} = 0 \ end {align}}}
    • מועיל, למטרות בהירות, ליישר את המשוואות כך שבמבט מלמעלה למטה, ניתן לזהות בקלות את המקדמים של כל משתנה, במיוחד מכיוון שהמשתנים נבדלים רק על ידי מנויים.
  2. 2
    הבן את משוואת המטריצה. משוואת המטריצה Ax = b {\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}} היא הבסיס הבסיסי של צמצום השורות. משוואה זו אומרת שמטריצה הפועלת על וקטור x {\ displaystyle \ mathbf {x}} מייצרת וקטור נוסף b. {\ Displaystyle \ mathbf {b}.}
    • הכירו בכך שאנחנו יכולים לכתוב את המשתנים והקבועים כווקטורים אלה. כאן, x = (x1, x2, x3, x4), {\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}),} איפה x {\ displaystyle \ mathbf {x}} הוא וקטור עמודות. ניתן לכתוב את הקבועים כווקטור עמודה ב '. {\ Displaystyle \ mathbf {b}.}
    • מה שנשאר זה המקדמים. כאן, אנו מכניסים את המקדמים למטריצה A. {\ displaystyle A.} וודאו שכל שורה במטריצה מתאימה למשוואה, וכל עמודה מתאימה למשתנה.
    • (11202−10−21−1−112−120) (x1x2x3x4) = (1−240) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & - 1 & 2 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \\ x_ {4} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 \ \ -2 \\ 4 \\ 0 \ end {pmatrix}}}
  3. 3
    המירו את המשוואות שלכם לצורת מטריצה מוגברת. כפי שניתן לראות, A סרגל אנכי מפריד את המקדמים, נכתב כמטריצה A, {\ a displaystyle,} מן קבועים, כפי שנכתב וקטור ב. {\ Displaystyle \ mathbf {ב}.} אותות סרגל אנכי בנוכחות מטריצה מוגברת (A | b). {\ displaystyle (A | \ mathbf {b}).}
    • (112012−10−2−21−1−1142−1200) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 4 \ \ 2 & -1 & 2 & 0 & 0 \ end {array}} \ right)}
קרא גם: איך לכתוב על שירה?

חלק 2 מתוך 4: צורת דרג-שורה

  1. 1
    הבן את פעולות השורה האלמנטריות. כעת, כשיש לנו מערכת המשוואות כמטריצה, עלינו לתפעל אותה כך שנקבל את התשובה הרצויה. ישנן שלוש פעולות שורה שנוכל לבצע על המטריצה מבלי לשנות את הפתרון. בשלב זה, שורה של מטריצה תסומן על ידי R, {\ displaystyle R,} כאשר כתב המשנה יגיד לנו באיזו שורה מדובר.
    • החלפת שורות. פשוט החלף שתי שורות. זה שימושי במצבים מסוימים, אליהם נגיע מעט מאוחר יותר. אם אנו רוצים להחליף שורות 1 ו -4, אנו מציינים זאת על ידי R1↔R4. {\ Displaystyle R_ {1} \ leftrightarrow R_ {4}.}
    • מרובה סולם. באפשרותך להחליף שורה במספר סקלרי שלה. לדוגמה, אם ברצונך להחליף שורה 2 בפי 5 עצמה, אתה כותב R2 → 5R2. {\ Displaystyle R_ {2} \ ל- 5R_ {2}.}
    • תוספת שורה. אתה יכול להחליף ברציפות עם הסכום של עצמו וכן שילוב ליניארי של שורות האחרות. אם ברצוננו להחליף את שורה 3 עם עצמה בתוספת פעמיים שורה 4, אנו כותבים R3 → R3 + 2R4. {\ Displaystyle R_ {3} \ ל- R_ {3} + 2R_ {4}.} אם אנו רוצים להחליף שורה 2 ב- עצמה, בתוספת שורה 3, ועוד פעמיים שורה 4, אנו כותבים R2 → R2 + R3 + 2R4. {\ displaystyle R_ {2} \ to R_ {2} + R_ {3} + 2R_ {4}.}
    • אנו יכולים לבצע פעולות שורה אלה בו זמנית, ובין שלוש פעולות השורה, שתי האחרונות יהיו שימושיות ביותר.
  2. 2
    זהה את הציר הראשון. ציר הוא המקדם המוביל של כל שורה. הוא ייחודי לכל שורה ועמודה, ומזהה משתנה עם המשוואה שלו. בואו נראה איך זה עובד.
    • באופן כללי, הציר הראשון תמיד יהיה המספר השמאלי העליון, ולכן ל- x1 {\ displaystyle x_ {1}} יש את המשוואה "שלה". במקרה שלנו, הציר הראשון הוא 1 בצד שמאל למעלה.
    • אם המספר השמאלי העליון הוא 0, החלף שורות עד שלא יהיה. במקרה שלנו, אנחנו לא צריכים.
  3. 3
    צמצם בשורה כך שהכל משמאל לתחתית הציר יהיה 0. כאשר זה קורה לאחר שזיהינו את כל הצירים שלנו, המטריצה תהיה בצורת הדרג. השורה בה מונח הציר אינה משתנה.
    • החלף שורה 2 בעצמה מינוס פעמיים שורה 1. זה מבטיח שהאלמנט בשורה 2, עמודה 1 יהיה 0.
    • החלף שורה 3 בעצמה מינוס שורה 1. זה מבטיח שהאלמנט בשורה 3, עמודה 1 יהיה 0.
    • החלף את שורה 4 בעצמה מינוס פעמיים שורה 1. האלמנט בשורה 4, עמודה 1 יהיה 0. מכיוון שפעולות שורה אלה נוגעות לשורות שונות, אנו יכולים לעשות אותן בו זמנית. אין צורך לכתוב ארבע מטריצות כחלק מהצגת העבודה שלך.
    • ניתן לסכם להלן פעולות שורות אלה.
    • R2 → R2−2R1R3 → R3 − R1R4 → R4−2R1 {\ displaystyle {\ begin {align} R_ {2} & \ to R_ {2} -2R_ {1} \\ R_ {3} & \ to R_ {3 } -R_ {1} \\ R_ {4} & \ עד R_ {4} -2R_ {1} \ end {align}}}
    • (112010−3−4−2−40−2−3130−3−20−2) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -4 & -2 & -4 \\ 0 & -2 & -3 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & -2 & 0 & -2 \ end {array}} \ right)}
  4. 4
    זהה את הציר השני וצמצם בשורה בהתאם.
    • הציר השני יכול להיות כל דבר מהעמודה השנייה למעט בשורה הראשונה, מכיוון שהציר הראשון כבר הופך אותו ללא זמין. בואו לבחור את האלמנט בשורה 2, עמודה 2. זכרו שאם נבחר ציר שאינו באלכסון, עליכם להחליף שורות כך שיהיו.
    • בצע את פעולות השורה הבאות כך שכל מה שנמצא מתחת לציר הוא 0.
    • R3 → 3R3−2R2R4 → R4 − R2 {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} R_ {3} & \ ל- 3R_ {3} -2R_ {2} \\ R_ {4} & \ ל- R_ {4} -R_ { 2} \ end {align}}}
    • (112010−3−4−2−400−171700222) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -4 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -1 & 7 & 17 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \ end {array}} \ right)}
  5. 5
    זהה את הציר השלישי והפחת בשורה בהתאם.
    • הציר השלישי לא יכול להיות מהשורה הראשונה או השנייה. בואו לבחור את האלמנט בשורה 3, עמודה 3. שימו לב לדפוס כאן. אנו בוחרים צירים לאורך האלכסון של המטריצה.
    • בצע את פעולת השורה הבאה. לאחר ביצוע פעולה זו, הציר הרביעי יוצא אוטומטית כאלמנט הימני התחתון של המטריצה.
    • R4 → R4 + 2R3 {\ displaystyle R_ {4} \ to R_ {4} + 2R_ {3}}
    • (112010−3−4−2−400−17170001636) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -4 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -1 & 7 & 17 \\ 0 & 0 & 0 & 16 & 36 \ end {array}} \ right)}
    • מטריצה זו נמצאת כעת בצורת הדרג. המוקדים זוהו, והכילו לצד השמאל ומתחת הצירים הוא 0. לזכור כי מדובר טופס בשורת דרג - הם אינם ייחודיים, עבור פעולות שורה שונות עשויות להניב מטריקס, שאינו דומים לזו שמעליה.
    • אתה יכול מיד לרשת x4 = 94 {\ displaystyle x_ {4} = {\ frac {9} {4}}} ולהמשיך להחליף לקבלת כל המשתנים האחרים. זה נקרא החלפת גב, וזה מה שהמחשבים משתמשים בו לאחר שהגיעו לצורת דרגת שורה כדי לפתור מערכות משוואות. עם זאת, אנו נמשיך לצמצם בשורות עד שלא יהיה שום דבר מלבד הצירים והקבועים.
אין צורך לכתוב ארבע מטריצות כחלק מהצגת העבודה שלך
אין צורך לכתוב ארבע מטריצות כחלק מהצגת העבודה שלך.

חלק 3 מתוך 4: צורה מופחתת של שורה שורה

  1. 1
    הבן מהי צורת הדרגה המופחתת (RREF). בניגוד לדרג שורות רגיל, RREF הוא ייחודי למטריקס, מכיוון שהוא דורש שני תנאים נוספים:
    • הצירים הם 1.
    • הצירים הם הערך היחיד שאינו אפס בעמודות שלהם.
    • ואז, אם למערכת המשוואות יש פיתרון ייחודי אחד, המטריצה המוגברת שתתקבל תיראה כמו (I | x), {\ displaystyle (I | \ mathbf {x}),} כאשר אני {\ displaystyle I} היא מטריצת הזהות. זו המטרה הסופית שלנו לחלק זה.
  2. 2
    הפחת בשורה ל- RREF. בניגוד לקבלת צורת דרג-שורה, אין תהליך שיטתי לפיו אנו מזהים צירים וצמצום שורות בהתאם. אנחנו רק צריכים לעשות את זה. כדאי לפשט לפני שתמשיך, אולם אנו יכולים לחלק את שורה 4 ל -4. פעולה זו מקלה על החשבון.
    • (112010−3−4−2−400−171700049) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -4 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -1 & 7 & 17 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 9 \ end {array}} \ right)}
  3. 3
    צמצם שורה כך שהשורה השלישית היא אפסים פרט לציר.
    • R3 → 7R4−4R3 {\ displaystyle R_ {3} \ to 7R_ {4} -4R_ {3}}
    • (112010−3−4−2−40040−500049) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -4 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 9 \ end {array}} \ right)}
  4. 4
    צמצם שורה כך שהשורה השנייה היא אפסים פרט לציר.
    • R2 → R3 + R2, {\ displaystyle R_ {2} \ to R_ {3} + R_ {2},} ואז R2 → R4 + 2R2. {\ Displaystyle R_ {2} \ to R_ {4} + 2R_ {2 }.} ואז הפשט את השורה השנייה.
    • (112010−200−30040−500049) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 9 \ end {array}} \ ימין)}
  5. 5
    צמצם שורה כך שהשורה הראשונה היא כולם אפסים למעט הציר.
    • R1 → 2R1 + R2, {\ displaystyle R_ {1} \ to 2R_ {1} + R_ {2},} ואז R1 → 2R1 − R3. {\ Displaystyle R_ {1} \ to 2R_ {1} -R_ {3 }.}
    • (200040−200−30040−500049) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 2 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 9 \ end {array}} \ right)}
  6. 6
    חלקו כך שכל ציר יהיה 1.
    • (1000201001,50010−1,2500012.25) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1,5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1,25 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2,25 \ end {array}} \ימין)}
    • זהו RREF, וכצפוי, זה מיד נותן לנו את הפתרון למשוואה המקורית שלנו כ (I | x). {\ Displaystyle (I | \ mathbf {x}).} סיימנו כעת.
    • x1 = 2x2 = 1,5x3 = −1,25x4 = 2,25 {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} x_ {1} & = 2 \\ x_ {2} & = 1,5 \\ x_ {3} & = -1,25 \\ x_ {4} & = 2,25 \ end {align}}}
כמובן שחיבור ערך עבור הצגת התוצאה כפתרון אינו נותן את הפיתרון הכללי
כמובן שחיבור ערך עבור הצגת התוצאה כפתרון אינו נותן את הפיתרון הכללי.

חלק 4 מתוך 4: אין פתרונות ייחודיים

  1. 1
    להבין את המקרה של חוסר עקביות. לדוגמא שעברנו לעיל היה פיתרון אחד ייחודי. בחלק זה, אנו עוברים מקרים בהם אתה נתקל בשורה של 0 במטריצת המקדם.
    • לאחר צמצום שורות ככל האפשר לצורת דרג-שורות, ייתכן שתיתקל במטריצה הדומה להלן. החלק החשוב הוא השורה עם ה 0, אך שימו לב שחסר לנו ציר בשורה השלישית.
    • (14210−4−140001) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc | c} 1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & -4 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right)}
    • שורה זו של 0 אומרת שהשילוב הליניארי של המשתנים עם מקדמים 0 מסתכם ב -1. זה אף פעם לא נכון, ולכן המערכת אינה עקבית ואין לה פתרון. אם תגיע לנקודה זו, סיימת.
  2. 2
    להבין את המקרה של תלות. אולי בשורה של 0, האלמנט הקבוע בשורה זו הוא גם 0, כך:
    • (14210−4−140000) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc | c} 1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & -4 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right)}
    • זה מאותת על קיומו של פתרון תלוי - פתרון המורכב מאינסוף פתרונות. חלקם עשויים לבקש ממך לעצור כאן, אך לא כל x {\ displaystyle \ mathbf {x}} הוא פיתרון. כדי לראות מהו הפיתרון בפועל, צמצם בשורה ל- RREF.
    • (1015010,25−10000) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 0,25 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right)}
    • בעמודה השלישית חסר ציר לאחר צמצום ל- RREF, אז מה המטריצה הזו אומרת בדיוק? זכור שהציר "מקצה" שורה למשתנה זה כמשוואה שלו, ולכן מכיוון ששתי השורות הראשונות כוללות צירים, נוכל לזהות את x1 {\ displaystyle x_ {1}} ו- x2. {\ Displaystyle x_ {2}.}
      • x1 + x3 = 5x2 + 14x3 = −1 {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} x_ {1} + x_ {3} & = 5 \\ x_ {2} + {\ frac {1} {4}} x_ { 3} & = - 1 \ end {align}}}
    • המשוואה הראשונה היא המשוואה עבור x1, {\ displaystyle x_ {1},} ואילו המשוואה השנייה היא זו עבור x2. {\ Displaystyle x_ {2}.} עכשיו, פתר את שניהם.
      • x1 = 5 − x3x2 = −1−14x3 {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} x_ {1} & = 5-x_ {3} \\ x_ {2} & = - 1 - {\ frac {1} {4 }} x_ {3} \ end {align}}}
    • מכאן נובעת ה"תלות ". גם x1 {\ displaystyle x_ {1}} וגם x2 {\ displaystyle x_ {2}} מסתמכים על x3, {\ displaystyle x_ {3},} אבל x3 {\ displaystyle x_ {3}} הוא שרירותי כאן - זה משתנה חופשי. לא משנה מה זה, הצמד המתקבל של x1 {\ displaystyle x_ {1}} ו- x2 {\ displaystyle x_ {2}} יהווה פיתרון תקף למערכת. בכדי להסביר זאת, פרמטר מחדש את המשתנה החינמי על ידי הגדרת x3 = t. {\ Displaystyle x_ {3} = t.}
      • x1 = 5 − tx2 = −1−14t {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} x_ {1} & = 5-t \\ x_ {2} & = - 1 - {\ frac {1} {4}} t \ end {align}}}
    • כמובן, הכנסת ערך ל- t {\ displaystyle t} והצגת ה- x {\ displaystyle \ mathbf {x}} שהתקבל כפתרון אינן נותנות את הפיתרון הכללי. במקום זאת, הפיתרון הכללי הוא
      • x = (5 − t − 1−14tt), t∈R. {\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ begin {pmatrix} 5-t \\ - 1 - {\ frac {1} {4}} t \\ t \ end {pmatrix}}, t \ in \ mathbb {R}.}
    • באופן כללי, אתה עלול להיתקל במשתנים חופשיים n {\ displaystyle n} . במקרה זה, כל שנדרש הוא כי אתה reparameterize n {\ n displaystyle} משתנים תלויים.

טיפים

  • צמצום שורות הופך לבלתי מעשי למטריצות של יותר מ -5 או 6 שורות / עמודות, מכיוון שמספר הפעולות החשבוניות עולה לפי הממד של המטריצה. השתמש במחשבון כדי לבדוק את ה- RREF שלך.

שאלות ותשובות

  • איך אוכל לדעת אם הפתרון הוא ייחודי או לא ייחודי?
    בצע את צמצום השורה כרגיל. אם למערכת יש פיתרון ייחודי, תקבל כאלה לאורך האלכסון והאפסים בכל מקום אחר. פתרונות ייחודיים דורשים משוואות לפחות כמו לא ידוע (או עמודות כמו שורות). אם יש פתרונות אינסופיים, אתה תמצא את עצמך לא מסוגל לנקות את אחת העמודות מכיוון שאין לזה ציר. זה קורה בדרך כלל כשיש לך יותר לא ידוע מאשר משוואות, אבל יכול לקרות גם כשחשבת שיש לך מספיק משוואות לפיתרון ייחודי, אך הן לא היו עצמאיות והפחתה בשורה פשטה את אחת המשוואות ל 0x + 0y + 0z = 0

קרא גם:

  1. כיצד למצוא את הקובע של מטריקס 3X3?
  2. כיצד להוסיף או להפחית וקטורים?
  3. כיצד למצוא פתרונות בריבועים קטנים ביותר באמצעות אלגברה לינארית?
מאמרים בנושאים דומים
  1. כיצד לברר את הקובע של מטריצה?Prof. Vicente Wiza DVM
  2. כיצד למצוא פתרונות בריבועים קטנים ביותר באמצעות אלגברה לינארית?Mariah Altenwerth
  3. איך מחסרים זמן?Daphnee Pouros
  4. איך מתווים קואורדינטות קוטביות?Elissa Lang II
  5. כיצד למצוא את נקודת האמצע של קטע קו?Madisyn Orn
  6. איך להיות בקיא בנושא הכימיה ההטרוציקלית?Brandt Heaney
FacebookTwitterInstagramPinterestLinkedInGoogle+YoutubeRedditDribbbleBehanceGithubCodePenWhatsappEmail