כיצד לברר את הקובע של מטריצה?

1. 1
   השתמש בהרחבת קופקטור. נקרא גם התרחבות על ידי קטינים, תהליך זה כולל לקיחת שורה או עמודת מספרים, הכפלתם בקובע המטריצה "מינורית" (המטריצה שנוצרה על ידי השמטת השורה והעמודה של המספר שאתה מכפיל את הקטין איתו), ו סיכום התוצאות. הדרך המדויקת מדוע תהליך זה פועל נובעת מההגדרה הפורמלית של הקובע, שהיא מאוד מביכה לביטוי.

   • הדיון לעיל אמנם נשמע מסובך, אך התהליך ממש לא. בואו נראה איך פועלת הרחבת קופקטורים.
2. 2
   זהה את המטריצה שלך. היזהר מ- 0 ו- 1, שכן הם יקלו מעט על חישוב הקובע.

   • A = (abcdefghi) {\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {pmatrix}}}
3. 3
   זהה את מטריצת ה"סימן ". אמנם לא מטריצה ממשית, אך מטריצת סימנים זו מספרת לנו איזה סימן להקצות למוצר.

   • (+ - + - + - + - +) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} + & & + \\ & + & - \\ + & & + \ end {pmatrix}}}
   • מטריצות שלטים אינן חלות רק על מטריצות 3x3 - הן חלות על מספר ממדים כלשהו, ואותו דפוס לוח שחם מתקיים.
4. 4
   בחר שורה או עמודה. אמנם כל אחד מהם יספיק, אך אידיאלי בשורה או בעמודה זו צריך להיות 0 כדי להקל על החישוב. הסיבה היא שבמהלך התפשטות הקופקטור, 0 מוכפל בגורם הקבוע של מטריצה מינורית כלשהי הוא 0, ולכן אינו תורם לקביעת המטריצה. זה יקל על החישובים. אם אין 0, המספר הבא הכי קל להימנע מטעויות חשבון יהיה 1.

   • בואו לבחור בשורה השנייה (def). {\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} d & e & f \ end {pmatrix}}.} מטריצת הסימנים המתאימה תהיה (- + -). {\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} & + & - \ end {pmatrix}}.}
5. 5
   הכפל את המספר הראשון של השורה או העמודה ההיא עם הקובע של המינור שלה. המטריצה המינורית היא המטריצה הקטנה יותר שנוצרה על ידי השמטת השורה והעמודה של המספר. התוצאה היא מטריצה שהמימד שלה מופחת ב -1 ומכאן המונח "מינורי".

   • בדוגמה שלנו בחרנו בשורה השנייה. שימו לב כי מטריצת הסימנים אומרת כי ל- d {\ displaystyle d} חייב להיות סימן שלילי בעת ביצוע הכפל.
   • −d | bchi | {\ displaystyle -d {\ begin {vmatrix} b & c \\ h & i \ end {vmatrix}}}
   • כאן, | bchi | {\ displaystyle {\ begin {vmatrix} b & c \\ h & i \ end {vmatrix}}} היא המטריצה המשנית של d. {\ Displaystyle d.} השווה מטריצה זו למטריצה המקורית - השמטנו הכל האלמנטים בשורה ואת הטור של ד. {\ displaystyle ד.}
6. 6
   לאחר מכן, בצע את המספר השני.

   • הסימן המתאים לכניסה e {\ displaystyle e} הוא חיובי.
   • e | acgi | {\ displaystyle e {\ begin {vmatrix} a & c \\ g & i \ end {vmatrix}}}
7. 7
   לבסוף, בצע את המספר השלישי.

   • הסימן המקביל להזנה f {\ displaystyle f} הוא שלילי.
   • −f | abgh | {\ displaystyle -f {\ begin {vmatrix} a & b \\ g & h \ end {vmatrix}}}
8. 8
   חישבו את הקובעים של הקטינים וסכמו את התוצאות. בתרגול תמשיך מיד לשלב זה ותעריך.

   • detA = −d | bchi | + e | acgi | −f | abgh | {\ displaystyle \ det A = -d {\ begin {vmatrix} b & c \\ h & i \ end {vmatrix}} + e {\ begin {vmatrix} a & c \\ g & i \ end {vmatrix}} - f {\ begin {vmatrix} a & b \\ g & h \ end {vmatrix}}}

דוגמה 1

1. 1
   שקול את המטריצה שלמטה.

   • B = (345910298) {\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 9 & 1 & 0 \\ 2 & 9 & 8 \ end {pmatrix}}}
2. 2
   בחר שורה או עמודה.

   • בשורה השנייה יש 0 ו- 1. השתמש בשורה זו.
3. 3
   הכפל את המספרים עם הקובע של הקטינים שלהם, וסכם את התוצאות. שימו לב לשלטים.

   • שימו לב שהערך השלישי בשורה שבחרנו הוא 0. אין צורך לחשב את הקובע של המינור שלו.
   • detB = −9 | 4598 | +1 | 3528 | {\ displaystyle \ det B = -9 {\ start {vmatrix} 4 & 5 \\ 9 & 8 \ end {vmatrix}} + 1 {\ begin {vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 8 \ סוף {vmatrix}}}
4. 4
   חישבו את הקובעים של הקטינים.

   • | 4598 | = (4) (8) - (9) (5) = - 13 | 3528 | = (3) (8) - (2) (5) = 14 {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} {\ התחל {vmatrix} 4 & 5 \\ 9 & 8 \ end {vmatrix}} & = (4) (8) - (9) (5) = - 13 \\ {\ התחל {vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 8 \ end {vmatrix}} & = (3) (8) - (2) (5) = 14 \ סוף {מיושר}}}
5. 5
   החלף את הקובעים הללו והעריך.

   • detB = −9 (−13) +1 (14) = 131. {\ displaystyle \ det B = -9 (-13) +1 (14) = 131.}

דוגמה 2

1. 1
   שקול את אותה מטריצה בדוגמא 1, אך בחר במקום זאת את העמודה השלישית. אנו רוצים לוודא שתהליך זה פועל על ידי השגת אותו ערך עבור הקובע.
2. 2
   הכפל את המספרים עם הקובע של הקטינים שלהם, וסכם את התוצאות. שימו לב לשלטים.

   • הערך השני בעמודה שלנו הוא 0, אז אל תחשב את הקובע של המינור שלו!
   • detB = 5 | 9129 | +8 | 3491 | {\ displaystyle \ det B = 5 {\ begin {vmatrix} 9 & 1 \\ 2 & 9 \ end {vmatrix}} + 8 {\ begin {vmatrix} 3 & 4 \\ 9 & 1 \ end { vmatrix}}}
3. 3
   חישבו את הקובעים של הקטינים.

   • | 9129 | = (9) (9) - (2) (1) = 79 | 3491 | = (3) (1) - (9) (4) = - 33 {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} {\ התחל {vmatrix} 9 & 1 \\ 2 & 9 \ end {vmatrix}} & = (9) (9) - (2) (1) = 79 \\ {\ התחל {vmatrix} 3 & 4 \\ 9 & 1 \ end {vmatrix}} & = (3) (1) - (9) (4) = - 33 \ end {align}}}
4. 4
   החלף את הקובעים הללו והעריך.

   • detB = 5 (79) +8 (−33) = 131. {\ displaystyle \ det B = 5 (79) +8 (-33) = 131.}
   • הקובע המתקבל בדוגמה 2 זהה לזה שבדוגמה 1. שימו לב לחשבון מעט יותר קשה בדוגמא 2. זה משקף את הבחירה שלנו בשורה / עמודה, כאשר מספרים כמו 5 ו- 8 מכפילים על ידי גורמים גדולים לא נוחים.

1. 1
   זהה את המטריצה שלך. חפש שורות או עמודות כמעט זהות זו לזו, או לא ממש שילוב לינארי של האחרות.
2. 2
   אם זה המקרה, צמצמו את השורה או העמודה כך שיש מספר משמעותי של 0 במטריצה. הפחתת העמודים חלה כאן מכיוון שגם הקובע אינו מעדיף.

   • היזהר שהפחתת שורה / עמוד עשויה לשנות את הקובע של מטריצה. לדוגמא, החלפת עמודה בכפולה של עצמה גורמת לקביעת שינוי על ידי אותו מכפלה, ולכן יש צורך להכפיל את ההדדיות כדי לפצות. החלפת שתי שורות או עמודות תבטל את הקובע. הפחתת שורה / עמודה לא תשנה אם הקובע שווה לאפס או לא.
3. 3
   השתמש בהרחבת קופקטור. אותו תהליך המשמש למציאת הקובע של מטריצה 3x3 גם כן מכליל לממדים גבוהים יותר. עם זאת, תהליך זה הוא ארוך טווח ולא יעיל לחישובי ידיים - אפילו מטריצת 4x4 מצריכה 3x3 קטינים, מה שמצריך גם 2x2 קטינים. עם זאת, לבעיות בספרי לימוד המבקשים ממך למצוא את הקובע של מטריצות ממד גבוה יותר עשויות להיות התכונות המתוארות בשלב 1 של הסעיף. לכן, אם אתה מתחכם בתהליך ההפחתה שלך, ייתכן שתקבל מטריצה שקל לחשב את הקובע שלה.

דוגמא

1. 1
   שקול את המטריצה שלמטה.

   • B = (27−586622414−1014341−1) {\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} 2 & 7 & -5 & 8 \\ 6 & 6 & 2 & 2 \\ 4 & 14 & -10 & 14 \\ 3 & 4 & 1 & -1 \ end {pmatrix}}}
   • אם אנחנו נאיביים לגבי חישוב הקובע של מטריצה זו, היינו פשוט בוחרים כל שורה או עמודה (ככל הנראה השורה הראשונה) ונרחיב על ידי קטינים פעמיים. עם זאת, שימו לב כי השורה השלישית היא כמעט מכפיל של השורה הראשונה, והשורה הרביעית היא כמעט מכפיל של השורה השנייה.
2. 2
   שורה מקטינה את המטריצה כדי להשיג 0. בצע את פעולות השורה R3 → R3−2R1 {\ displaystyle R_ {3} \ ל- R_ {3} -2R_ {1}} ו- R4 → 2R4 − R2. {\ Displaystyle R_ {4} \ to 2R_ {4} -R_ {2}.}

   • detB = 12 | 27−586622000−2020−4 | {\ displaystyle \ det B = {\ frac {1} {2}} {\ התחל {vmatrix} 2 & 7 & -5 & 8 \\ 6 & 6 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & - 4 \ end {vmatrix}}}
   • תוך כדי צמצום שורות החלפנו את שורה 4 בשניים עצמה, פחות שילוב ליניארי של שורות האחרות (כאן רק שורה 2). הקובע של המטריצה מכפיל את עצמו ואז, עלינו להכפיל בחצי כדי לפצות.
3. 3
   לפשט על ידי פקטורינג. ניתן לחלק את הערכים בשורות 2-4 ב -2. על ידי פקטור 2 מכל שורה, הקובע של המטריצה הוא חצוי, לכן כתוב גורם 2 מבחוץ כדי לפצות. מכיוון שחילקנו שלוש שורות ב- 2, יהיה גורם 8.

   • detB = 12 (8) | 27−583311000−1010−2 | {\ displaystyle \ det B = {\ frac {1} {2}} (8) {\ התחל {vmatrix} 2 & 7 & -5 & 8 \\ 3 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \ end {vmatrix}}}
4. 4
   בחר בשורה השלישית להרחבת קופקטור. הפחתת השורות שלנו אפשרה לנו "לטפס במדרגות" למטריצה הניתנת לניהול יותר. שימו לב לשלט.

   • detB = (4) (- (- 1)) | 27−5331010 | {\ displaystyle \ det B = (4) (- (- 1)) {\ התחל {vmatrix} 2 & 7 & -5 \\ 3 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \ סוף {vmatrix}}}
5. 5
   בחר בשורה השלישית של המטריצה המשנית להרחבת קופקטור.

   • detB = 4 (−1) | 2−531 | {\ displaystyle \ det B = 4 (-1) {\ begin {vmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \ end {vmatrix}}}
6. 6
   חישוב הקובע של הקטין והערך.

   • | 2−531 | = 17, {\ displaystyle {\ התחל {vmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \ end {vmatrix}} = 17,} אז
   • detB = 4 (−17) = - 68. {\ displaystyle \ det B = 4 (-17) = - 68.}