כיצד למצוא את הקובע של מטריקס 3X3?
1. כתוב את המטריצה שלך 3 x 3.
2. בחר שורה אחת או עמודה.
3. חצו את השורה והעמודה של האלמנט הראשון שלכם.
4. מצא את הקובע של המטריצה 2 x 2.
5. הכפל את התשובה לפי האלמנט שבחרת.
6. מצא את סימן התשובה שלך (+ או -) באמצעות הנוסחה (-1) * (i + j), כאשר i ו- j הם השורה והעמודה של האלמנט. הנוסחה תגיד לך אם התשובה שלך חיובית או שלילית.
7. חזור על תהליך זה עבור האלמנט השני בשורת העמודה או בעמודה שלך.
8. חזור על הפעולה עם האלמנט השלישי.
9. הוסף את שלוש התוצאות שלך יחד.
הנוסחה לקובע שונה עבור כל מטריצה, אך עבור 3x3 קשה מאוד להקליד.
הקובע של מטריצה משמש לעתים קרובות בחשבון, באלגברה לינארית ובגיאומטריה מתקדמת. מציאת הקובע של מטריצה יכולה להיות מבלבלת בהתחלה, אבל זה נעשה קל יותר ברגע שאתה עושה את זה כמה פעמים.
חלק 1 מתוך 2: מציאת הקובע
- 1כתוב את המטריצה שלך 3 x 3. נתחיל ממטריצה A 3 x 3 וננסה למצוא את הקובע שלה | A |. להלן סימון המטריצה הכללי בו נשתמש, ומטריצת הדוגמה שלנו:
- M = (a11a12a13a21a22a23a31a32a33) = (153247462) {\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ { 31} & a_ {32} & a {33} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 6 & 2 \ end {pmatrix}}}
- 2בחר שורה אחת או עמודה. זו תהיה השורה או העמודה שלך. תקבל את אותה התשובה לא משנה באיזו תשובה תבחר. לעת עתה, פשוט בחר בשורה הראשונה. בהמשך נעניק עצות כיצד לבחור באפשרות הקלה ביותר לחישוב.
- בואו לבחור את השורה הראשונה של א מטריקס בדוגמה שלנו הקף את 1 5 3. באופן כללי, להקיף 11 12 13.
- 3חצו את השורה והעמודה של האלמנט הראשון שלכם. התבונן בשורה או בעמודה שהקפת בה ובחר באלמנט הראשון. צייר קו דרך שורה ועמודה שלה. אתה צריך להישאר עם ארבעה מספרים. נתייחס לאלה כאל מטריצה של 2 x 2.
- בדוגמה שלנו, שורה הייחוס שלנו היא 1 5 3. האלמנט הראשון נמצא בשורה 1 ועמודה 1. חוצה את כל שורה 1 ועמודה 1. כתוב את האלמנטים הנותרים כמטריצה 2 x 2:
1 5 324 146 2
אם כל האלמנטים בשורה או בעמודה הם 0, הקובע של אותה מטריצה הוא 0. - 4מצא את הקובע של המטריצה 2 x 2. זכור, למטריצה (abcd) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}} יש קובע של ad - bc. יכול להיות שלמדת זאת על ידי ציור X על פני המטריצה 2 x 2. הכפל את שני המספרים המחוברים באמצעות ה- \ של ה- X. ואז הפחת את המוצר משני המספרים המחוברים באמצעות ה- /. השתמש בנוסחה זו כדי לחשב את הקביעה של המטריצה שמצאת זה עתה.
- בדוגמה שלנו, הקובע של המטריצה (4762) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 4 & 7 \\ 6 & 2 \ end {pmatrix}}} = 4 * 2 - 7 * 6 = -34.
- הקובע הזה נקרא מינור של האלמנט שבחרנו במטריצה המקורית שלנו. במקרה זה, רק מצאנו את הקטין של בן 11.
- 5הכפל את התשובה לפי האלמנט שבחרת. זכור, בחרת אלמנט משורת הייחוס (או העמודה) שלך כאשר החלטת איזו שורה ועמודה לחצות. הכפל את האלמנט הזה על ידי הקובע שחישבת זה עתה עבור מטריצת 2x2.
- בדוגמה שלנו בחרנו 11, שהיה לו ערך 1. הכפל זאת ב -34 (הקובע של 2x2) כדי לקבל 1 * -34 = -34.
- 6קבע את סימן התשובה שלך. לאחר מכן, תכפיל את התשובה שלך ב -1 או ב -1 כדי לקבל את גורם המשנה של האלמנט שבחרת. באיזה שימוש אתה תלוי היכן הוצב האלמנט במטריצה 3x3. שינן את תרשים הסימנים הפשוט הזה כדי לעקוב אחר האלמנט הגורם לאילו:
- + - +
+ - + - מכיוון שבחרנו 11, המסומן ב- +, אנו מכפילים את המספר ב- +1. (במילים אחרות, השאר את זה בשקט.) התשובה היא עדיין -34.
- לחלופין, אתה יכול למצוא את השלט עם הנוסחה (-1) i + j, כאשר i ו- j הם השורה והעמודה של האלמנט.
- + - +
- 7חזור על תהליך זה עבור האלמנט השני בשורת העמודה או בעמודה שלך. חזור למטריצת 3x3 המקורית, עם השורה או העמודה שהקפת מוקדם יותר. חזור על אותו תהליך עם אלמנט זה:
- חצו את השורה והעמודה של האלמנט הזה. במקרה שלנו, בחר אלמנט a 12 (עם ערך 5). חצו את השורה הראשונה (1 5 3) ואת העמודה השנייה (546) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 5 \\ 4 \\ 6 \ end {pmatrix}}} .
- התייחס אל האלמנטים הנותרים כאל מטריצה של 2x2. בדוגמה שלנו, המטריצה היא (2742) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 & 7 \\ 4 & 2 \ end {pmatrix}}}
- מצא את הקובע של מטריצת 2x2 זו. השתמש בנוסחה ad - bc. (2 * 2 - 7 * 4 = -24)
- הכפל את האלמנט הנבחר של מטריצת 3x3. -24 * 5 = -120
- קבע אם להכפיל ב -1. השתמש בתרשים הסימנים או בנוסחת (-1) ij. בחרנו באלמנט a 12, כלומר - בתרשים הסימנים. עלינו לשנות את סימן התשובה שלנו: (-1) * (- 120) = 120.
הקובע של מטריצה משמש לעתים קרובות בחשבון, באלגברה לינארית ובגיאומטריה מתקדמת. - 8חזור על הפעולה עם האלמנט השלישי. יש לך עוד גורם אחד למצוא. חשב את i עבור המונח השלישי בשורת ההפניה או בעמודה שלך. להלן סקירה מהירה של אופן החישוב של גורם המשנה של 13 בדוגמה שלנו:
- חצו את שורה 1 ועמודה 3 כדי לקבל (2446) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \ end {pmatrix}}}
- הקובע שלה הוא 2 * 6 - 4 * 4 = -4.
- הכפל באלמנט a 13: -4 * 3 = -12.
- אלמנט a 13 נמצא + בתרשים הסימנים, ולכן התשובה היא -12.
- 9הוסף את שלוש התוצאות שלך יחד. זה השלב האחרון. חישבת שלושה גורמים משותפים, אחד לכל רכיב בשורה או בעמודה בודדים. הוסף אותם יחד ומצאת את הקובע של מטריצת 3x3.
- בדוגמה שלנו הקובע הוא -34 + 120 + -12 = 74.
חלק 2 מתוך 2: להקל על הבעיה
- 1בחר את ההפניה עם הכי הרבה אפסים. זכור, אתה יכול לבחור כל שורה או עמודה כהפניה שלך. תקבל את אותה התשובה לא משנה באיזה סוג תבחר. אם תבחר שורה או עמודה עם אפסים, עליך לחשב רק את גורם המשנה עבור האלמנטים שאינם אפסים. הנה למה:
- נניח שאתה בוחר בשורה 2, עם האלמנטים a 21, 22 ו- 23. כדי לפתור בעיה זו, נבחן שלוש מטריצות 2x2 שונות. בואו נקרא להם A 21, A 22 ו- A 23.
- הקובע של מטריצת 3x3 הוא 21 | A 21 | - 22 | A 22 | + a 23 | A 23 |.
- אם המונחים 22 ו- 23 שניהם 0, הנוסחה שלנו הופכת ל- 21 | A 21 | - 0 * | A 22 | + 0 * | A 23 | = a 21 | A 21 | - 0 + 0 = a 21 | A 21 |. כעת עלינו לחשב רק את גורם המשנה של אלמנט יחיד.
- 2השתמש בתוספת שורה כדי להקל על המטריצה. אם אתה לוקח את הערכים של שורה אחת ומוסיף אותם לשורה אחרת, הקובע של המטריצה לא משתנה. הדבר נכון גם לגבי עמודות. אתה יכול לעשות זאת שוב ושוב - או להכפיל את הערכים בקבוע לפני ההוספה - כדי לקבל כמה שיותר אפסים במטריצה. זה יכול לחסוך לך הרבה זמן.
- לדוגמה, נניח שיש לך מטריצה 3 x 3: (9−1231075−2) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 9 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 7 & 5 & -2 \ end {pmatrix}}}
- על מנת לבטל את ה- 9 במצב a 11, נוכל להכפיל את השורה השנייה ב- -3 ולהוסיף את התוצאה לראשונה. השורה הראשונה החדשה היא [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- המטריצה החדשה היא (0−4231075−2) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -4 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 7 & 5 & -2 \ end {pmatrix}}} נסה להשתמש באותו טריק עם עמודות כדי להפוך 12 לתוך 0 גם כן.
הצמוד למטריצה מרובעת הוא הטרנספוזיציה של המטריצה Cij (גורם גורם של המטריצה המקורית). - 3למד את קיצור הדרך עבור מטריצות משולשות. במקרים מיוחדים אלה, הקובע הוא פשוט תוצר האלמנטים לאורך האלכסון הראשי, מ 11 בפינה השמאלית העליונה ועד 33 בפינה הימנית התחתונה. אנחנו עדיין מדברים על מטריצות של 3x3, אך ל"משולשים "יש דפוסים מיוחדים של ערכים שאינם אפסים:
- מטריצה משולשת עליונה: כל האלמנטים שאינם אפס נמצאים על האלכסון הראשי או מעל. כל מה שלמטה הוא אפס.
- מטריצה משולשת תחתונה: כל האלמנטים שאינם אפס נמצאים על האלכסון הראשי או מתחת לו.
- מטריצה אלכסונית: כל האלמנטים שאינם אפסיים נמצאים באלכסון הראשי. (קבוצת משנה של האמור לעיל).
- אם כל האלמנטים בשורה או בעמודה הם 0, הקובע של אותה מטריצה הוא 0.
- שיטה זו משתרעת על מטריצות מרובעות בכל גודל. לדוגמא, אם אתה משתמש בזה למטריצת 4x4, "החוצה" שלך משאיר לך מטריצה 3x3, עליה אתה מחשב את הקביעה כמתואר לעיל. הזהיר, זה נהיה מייגע מאוד ביד!
שאלות ותשובות
- מה הנוסחה לקובע?הנוסחה לאיתור הקובע לנוסחה ריבועית היא (b ^ 2-4ac), שכולו נמצא בשורש ריבועי.
- מדוע הנוסחה לקובע (b ^ 2-4ac) ^ (0,5) במקום ad-bc?אני חושב שה- OP היה מבולבל. הם התייחסו למפלה, משהו שאתה משתמש בנוסחה הריבועית. הנוסחה לקובע שונה עבור כל מטריצה, אך עבור 3x3 קשה מאוד להקליד. יכול להיות שקל יותר לעשות את זה בגוגל.
- כיצד אוכל לצרף מטריצה?הצמוד למטריצה מרובעת הוא הטרנספוזיציה של המטריצה Cij (גורם גורם של המטריצה המקורית).
תגובות (30)
- אני מתחיל ללמוד קידוד, אבל אין לי שום רקע במתמטיקה ואני צריך לכתוב קודים על גורמים גורמים. מדריך זה עוזר לי להבין בקלות מה הם. תודה רבה לך.
- דף זה ממש נהדר, טיפלתי בהצלחה במשימה שלי בעקבות הדוגמאות שעבדתם. הצדעה.
- תודה על המאמר, זה עזר לי לסיים את המשימה שלי בזמן. אני אסיר תודה על עזרתך.
- המאמר היה ישיר לעניין.
- התיאור שלך עם תמונות מועיל מאוד!
- מאמר זה מעולה! זה באמת מפרק כיצד למצוא את הקובע בצעדים פשוטים ונחמדים. יש בו גם תמונות נהדרות שיעזרו לך להבין!
- המאמר קל ללמוד את החישוב של מטריקס 3 על 3. עבודה טובה.
- תודה רבה. זה עזר לי מאוד. אגודלים למעלה!
- זה פתר את כל השאלות שלי, תודה!
- זה עשה לי מטריצות די קלות. תודה על הסבר כה מפורט.
- אני מרגיש מוצף. זה באמת עזר לי בצורה מדהימה.
- זה עזר לי כל כך. זה עזר לי להבין בצורה ברורה.
- התמונות בהסבר ממש עזרו.
- זה מאוד עזר לי. זה מנקה את הספקות והקשיים שלי.
- עמודים ספציפיים אלו עוזרים לי להבין היטב את השיטה והצעדים של קביעת מערכות מטריקס 3x3. זה הרבה יותר פשוט עבור הלומדים להבין, לעומת גרסה אחרת של ההסבר הקובע.
- ההוראות המוסברות היטב עזרו.
- אני סטודנטית למתמטיקה באומנויות ליברליות במכללה והמורה שלי לא הספיק לפרסם ביקורת לבחינה מחר. באמת שהייתי זקוק לבעיית תרגול כדי לראות אם אני יודע למצוא את הקובע של 3x3, ולמזלי המאמר הזה נתן לי בדיוק את זה.
- איש! זה היה ממש פשוט. עזר לי מאוד.:-)
- עוזר לי להבין את שלב אחר שלב לפתרון הקובעים. זה באמת מועיל מכיוון שכל שלב מתואר ומוסבר במדויק. מדריך עבודה נהדר.
- זה חסך לי הרבה שאלות.
- מאמר זה עזר לי להשיג את התואר הראשון במתמטיקה שימושית והנדסה.
- מאמר זה על מציאת הקובע של מטריצה 3 x 3 היה אלוהי! ההוראות היו מאוד ברורות וקלות להבנה. מתמטיקה מעולם לא הייתה קלה יותר!
- זוהי הזדמנות טובה מאוד למתחילים במתמטיקה לנקות את הבעיות שיש להם במתמטיקה ולהקל על המתמטיקה.
- זה בדיוק מה שחיפשתי.
- הסבר טוב ומפורט מאוד.
- הפיתרון של הפרופסור שלי למטריקס בלבל אותי, ולכן חיפשתי "איך לפתור גורמים גורמים" כדי לברר את העובדות שלי. תודה.
- דרך ההסבר ובאמצעות צורה ציורית כדי להפוך את הדברים לפשוטים יותר הייתה מועילה באמת.
- ממש טוב וקל להבנה.
- כתבתי מאקרו של Excel כדי לשלב בין שלוש עקומות כדי שאוכל לדגם משטח מבלי לקחת יותר מדי נתונים. הייתי צריך להשתמש בכלל של קריימר, אבל שכחתי כיצד לחשב קובע של מטריצת 3x3. מאמר זה עזר.
- אני זוכר את הטכניקה הזו. ההסבר שלך היה מאוד מועיל. תודה.
