איך מצמצמים מטריצה לצורת דרג שורה?
כאשר הדבר נעשה למטריצה בצורת הדרג, היא נשארת בצורת הדרג.
צורת הדרג-שורה של מטריצה שימושית ביותר עבור יישומים רבים. לדוגמא, ניתן להשתמש בו כדי לפרש גיאומטרית וקטורים שונים, לפתור מערכות של משוואות ליניאריות ולגלות מאפיינים כגון הקובע של המטריצה.
- 1להבין מהי צורת דרג שורה. טופס הדרג-שורה הוא המקום בו הערך המוביל (הראשון שאינו אפס) של כל שורה מכיל רק אפסים מתחתיו. ערכים מובילים אלה נקראים צירים, וניתוח של הקשר בין הצירים ומיקומם במטריצה יכול לספר הרבה על המטריצה עצמה. דוגמה למטריצה בצורת דרג שורה נמצאת להלן.
- (112013005) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \ end {pmatrix}}}
- 2הבן כיצד לבצע פעולות שורה אלמנטריות. ישנן שלוש פעולות שורה שאפשר לעשות למטריקס.
- החלפת שורות.
- כפל סקלרי. כל שורה יכולה להיות מוחלפת על ידי מכפל סקלרי שאינו אפס של אותה שורה.
- תוספת שורה. שורה יכולה להיות מוחלפת בפני עצמה בתוספת מכפל של שורה אחרת.
- 3התחל על ידי כתיבת המטריצה שתצטמצם לצורת דרג שורה.
- (112123345) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \ end {pmatrix}}}
- 4זהה את הציר הראשון של המטריצה. הצירים חיוניים להבנת תהליך צמצום השורה. כשמצמצמים מטריצה לצורת דרגות שורה, הערכים שמתחת לציר המטריצה הם כולם 0.
- עבור המטריצה שלנו, הציר הראשון הוא פשוט הכניסה השמאלית העליונה. באופן כללי, זה יהיה המקרה, אלא אם כן הערך השמאלי העליון הוא 0. אם זה המקרה, החלף שורות עד שהערך השמאלי העליון אינו אפס.
- מטבעם, יכולה להיות ציר אחד בלבד לכל עמודה ולכל שורה. כשבחרנו את הערך הימני העליון כציר הראשון שלנו, אף אחד מהערכים האחרים בעמודה או בשורה של הציר לא יכול להפוך לציר.
איך מוצאים את דרגת המטריצה לפי צורת הדרג השורה? - 5בצע פעולות שורות במטריצה כדי להשיג 0 מתחת לציר הראשון.
- עבור המטריצה שלנו, אנו רוצים להשיג 0 עבור הערכים שמתחת לציר הראשון. החלף את השורה השנייה בעצמה מינוס השורה הראשונה. החלף את השורה השלישית בעצמה פחות שלוש פעמים מהשורה הראשונה. ניתן לכתוב בקיצור את צמצומי השורות הללו כ- R2 → R2 − R1 {\ displaystyle R_ {2} \ to R_ {2} -R_ {1}} ו- R3 → R3−3R1. {\ Displaystyle R_ {3} \ to R_ { 3} -3R_ {1}.}
- (11201101−1) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \ end {pmatrix}}}
- 6זהה את הציר השני של המטריצה. הציר השני יכול להיות הכניסה התחתונה או האמצעית התחתונה, אך היא לא יכולה להיות הכניסה העליונה העליונה מכיוון ששורה זו כבר מכילה ציר. אנו נבחר בכניסה האמצעית כציר השני, אם כי התחתון האמצעי עובד באותה מידה.
- 7בצע פעולות שורות במטריצה כדי להשיג 0 מתחת לציר השני.
- R3 → R3 − R2 {\ displaystyle R_ {3} \ to R_ {3} -R_ {2}}
- (11201100−2) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \ end {pmatrix}}}
- מטריצה זו נמצאת כעת בצורת הדרג.
- 8באופן כללי, המשך לזהות את צירייך. צמצם בשורה כך שהערכים שמתחת לצירים יהיו 0.
- צמצום מטריצה לצורת דרגה שורה עובד עם כל מטריצת גודל, ריבועית ומלבנית.
שאלות ותשובות
- איך מוצאים את דרגת המטריצה לפי צורת הדרג השורה?דרגת המטריצה היא הממד של מרחב הווקטור המשתרע על ידי העמודים. אז מספר הצירים שווה לדרגה. מספר השורות שאינן אפס שווה גם לדרגה.
- תגיד לי כמה אפסים חייבים להיות ברצף?אחד היישומים של צמצום לצורת דרג שורה הוא חלק מהפתרון של משוואות ליניאריות. התהליך כולל ביצוע הפעולות המתוארות כאן על מטריצת המקדם, בעוד שאתה מבצע את אותן פעולות על הווקטור המתאים לצד ימין של מערכת המשוואה. עבודה עם פעולות עמוד לא ממש תעבור ליישום זה.
- מדוע לא משתמשים בפעולות עמודות להפחתת מטריצה בצורת הדרג שלה?ברמה בסיסית, מטריצות הן עצמים המכילים את המקדמים של משתנים שונים במכלול ביטויים ליניאריים. כל שורה מיועדת לביטוי יחיד, וכל עמודה היא עבור משתנה יחיד. כאשר אנו פותרים קבוצות של משוואות, אנו יכולים לשלב משוואות על ידי הוספה או חיסור של המשוואות, או הכפלתן בגורם; לא הגיוני להכפיל את המקדמים של משתנה יחיד בכל המשוואות במספר, או להפחית את המקדם של משתנה אחד מזה של משתנה אחר בכל המשוואות. לפיכך, אנו מבצעים פעולות בשורות (מקדמים בביטויים), ולא בעמודות (מקדמי משתנים).
- האם קיים כלל כללי למציאת צורת הדרג המופחת של השורה?פשוט בצע את פעולות השורה עד שיהיו 0 שניות מתחת לכל ציר. זה פשוט מאוד, פשוט תרגלו את זה.
- האם התשובה שלי בצורה דרגית שורה יכולה להיות שונה?כן, אבל תמיד יהיו אותו מספר צירים באותן עמודות, לא משנה איך תפחיתו, כל עוד זה בצורת דרג שורה. הדרך הקלה ביותר לראות כיצד התשובות עשויות להיות שונות היא על ידי הכפלת שורה אחת בגורם. כאשר הדבר נעשה למטריצה בצורת הדרג, היא נשארת בצורת הדרג.
