כיצד להוכיח את משפט האקורדים המצטלב של אוקליד?
מאמר זה ילמד אותך להוכיח את משפט האקורדים המצטלב (או חוצה); באופן ספציפי, כיצד שני האקורדים AD ו- BC יוצרים שני מלבנים שווים.
כשקוראים לראשונה את ההצעה 35 של הספר השלישי של "האלמנטים" של אוקלידס, אפשר להדהים מכך שאקורדים חוצים יוצרים שני מלבנים שווים, בין אם נקודת החיתוך שלהם נמצאת במרכז ובין אם לאו, אבל זה קל למדי להבנה. מאמר זה ילמד אותך להוכיח את משפט האקורדים המצטלב (או חוצה); באופן ספציפי, כיצד שני האקורדים AD ו- BC יוצרים שני מלבנים שווים.
חלק 1 מתוך 4: המדריך
- 1להבין הגדרה של משפט האקורדים המצטלב של אוקלידס. משפט האקורדים מצטלבים טוען שהעצם שימוש הבא: בהינתן P נק' בחלק הפנימי של מעגל עם שני קווים עוברים P, AD ו- BC, אז AP * PD = BP * PC - שני המלבנים שהוקמו על ידי המגזרים סמוך הם, למעשה, שווה. מאמר זה מראה לך בכמה שלבים כיצד להוכיח שזה נכון.
- 2הוכיח את הדמיון של משולשים ABP ו- CDP שהיא תוצאה של הזוויות שלהם מאז:
- BAD = BCD מכיוון שזוויות רשומות המושתות על ידי אותו אקורד BD שוות [ספר III הצעות 20 ו- 21];
- ABC = ADC מכיוון שזוויות רשומות המוטלות באותה אקורד AC שוות [ספר III הצעות 20 ו- 21]; ו
- APB = CPD מכיוון שהם צמד זוויות אנכיות (זוויות אנכיות נוצרות על ידי אותם קווים מצטלבים).
- 3הוכיח כי מדמיון משולשים מתקבלים ABP ו- CDP זהויות ופרופורציות אלה: 1) AP / PC = BP / PD = AB / CD. זה ביסודו של דבר משולשים דומים קשורים זה לזה.
- 4הוכח שהזהות הראשונה שלמעלה, ap / pc = bp / pd, מובילה ישירות למשפט האקורדים המצטלב, על ידי הכפלת צולבים: AP * PD = BP * PC. כך הגיעו למשפט, הן גיאומטרית והן מתמטית, שכן שני מוצרים אלה הם אכן מלבנים.
- 5חקרו ומצאו שההוכחה שניתנה על ידי אוקליד ארוכה ומעורבת הרבה יותר, ומשתמשת במשפט הפיתגוראי, שהיא הוכחה ארוכה למדי בפני עצמה. כדי להבין כיצד פועלות הוכחות אלה, אתה מופנה לטקסט המתורגם של "אלמנטים" של אוקלידס להלן.
חלק 2 מתוך 4: תרשימי הסבר, דיאגרמות, תמונות
- 1
חלק 3 מתוך 4: הדרכה מועילה
- 1השתמש במאמרי עוזר בעת המשך הדרכה זו:
- ראה מאמר כיצד להכפיל ולחלק גיאומטרית כמו טבע האם לרשימת מאמרים הקשורים לאקסל, גיאומטריה ו / או אמנות טריגונומטרית, תרשימים / תרשימים וניסוח אלגברי.
- לקבלת תרשימי גרפים וגרפים נוספים, כדאי גם ללחוץ על קטגוריה: תמונות Excel Excel, קטגוריה: מתמטיקה, קטגוריה: גיליונות אלקטרוניים או קטגוריה: גרפיקה כדי להציג גיליונות עבודה ותרשימים רבים של Excel בהם טריגונומטריה, גיאומטריה וחשבון הופכו לאמנות או פשוט לחץ על הקטגוריה כפי שמופיע בחלק הלבן הימני העליון של דף זה, או בפינה השמאלית התחתונה של הדף.
להבין הגדרה של משפט האקורדים המצטלב של אוקלידס.
חלק 4 מתוך 4: סיוע בווידיאו.
| |
- ההוכחה שאוקלידס אכן תלויה בהוכחתו למשפט פיתגורס; הנה תמונה של ההוכחה הזו:
- כדי לעזור בהבנת האופן שבו לזוויות עם בסיסים שווים במעגל יש את אותה הזווית בקצותיהן המרוחקים שבהם הם נוגעים במעגל שוב, שתי תמונות של המשפטים הקודמים של אוקלידס, ספר III הצעות 20 ו- 21, משוחזרות כאן:
- לעיל נאמר כי ההוכחה של אוקלידס עצמו, ספר III P35, הייתה הרבה יותר ארוכה ומעורבת, בכך שהיא כוללת גם את הוכחת משפט פיתגורס. הנה תמונה של ההוכחה:
קרא גם: איך מזהים צמחים?
