כיצד להבין מספרים מורכבים?

Leo Marshall
Leo Marshall
• 15 דקות קריאה
ומפשט כמעט כל מה שקשור למספרים מורכבים באופן כללי
מבחינה גיאומטרית, זה הופך את המספרים המורכבים להרבה יותר קלים לתפיסה, ומפשט כמעט כל מה שקשור למספרים מורכבים באופן כללי.

כשלמדנו לספור לראשונה, התחלנו עם המספרים הטבעיים - 1, 2, 3 וכו '. זמן קצר לאחר מכן, הוספנו 0 כדי לייצג את רעיון האין. לאחר מכן הוספנו את המספרים השליליים ליצירת המספרים השלמים, שהיו מעט פחות אינטואיטיביים, אך מושגים כמו חוב עזרו לחזק את תפיסתנו בהם. המספרים שמילאו את הרווחים בין המספרים השלמים מורכבים מהמספרים הרציונליים - מספרים שניתן לכתוב במונחים של מנה של שני מספרים שלמים ab {\ displaystyle {\ frac {a} {b}}} - והמספרים הלא רציונליים, שאינו יכול. יחד, המספרים הללו מהווים את השדה הנקרא המספרים האמיתיים. במתמטיקה, שדה זה מסומן בדרך כלל על ידי R. {\ displaystyle \ mathbb {R}.}

מספרים מורכבים מסומנים באמצעות המשתנים ודומים למספרים אמיתיים ומסמנים אותם
לפי מוסכמות, מספרים מורכבים מסומנים באמצעות המשתנים ודומים למספרים אמיתיים ומסמנים אותם.

עם זאת, ישנם יישומים רבים בהם מספרים אמיתיים אינם מצליחים לפתור בעיות. אחת הדוגמאות הפשוטות ביותר היא הפיתרון למשוואה x2 + 1 = 0. {\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0.} אין פתרונות אמיתיים, אך על פי משפט היסוד של האלגברה, חייבים להיות שניים פתרונות למשוואה זו. כדי ללוות את שני הפתרונות הללו, עלינו להציג את המספרים המורכבים C. {\ Displaystyle \ mathbb {C}.}

בואו נגיד שרצינו להוסיף שני מספרים מורכבים ואז להוסיף שני מספרים מורכבים אלה פשוט כמו להוסיף את הרכיבים
בואו נגיד שרצינו להוסיף שני מספרים מורכבים ואז להוסיף שני מספרים מורכבים אלה פשוט כמו להוסיף את הרכיבים האמיתיים והדמיוניים בנפרד.

מאמר זה נועד לתת לקורא הבנה אינטואיטיבית מהם המספרים המורכבים וכיצד הם פועלים, החל מלמטה למעלה.

חלק 1 מתוך 4: הגדרת מספר מורכב

  1. 1
    הגדר מספר מורכב. מספר מורכב הוא מספר שניתן לכתוב בצורה a + bi, {\ displaystyle a + bi,} כאשר i = −1. {\ Displaystyle i = {\ sqrt {-1}}.} החלק החשוב ביותר מספר זה הוא מה שאני {\ displaystyle i} . זה בכלל לא נמצא בשורת המספרים האמיתית.
    • להלן מספר דוגמאות למספרים מורכבים. שימו לב שהמספר 3 הוא מספר מורכב. פשוט יש לו רכיב דמיוני השווה ל- 0, כי 0i = 0. {\ Displaystyle 0i = 0.}
      • 2 + 3i {\ displaystyle 2 + 3i}
      • 4 − i {\ displaystyle 4-i}
      • 3 {\ displaystyle 3}
    • לפי מוסכמות, מספרים מורכבים מסומנים באמצעות המשתנים z {\ displaystyle z} ו- w, {\ displaystyle w,} בדומה ל- x {\ displaystyle x} ו- y {\ displaystyle y} המציינים מספרים אמיתיים. אז אנחנו אומרים ש z = a + bi. {\ Displaystyle z = a + bi.} יש מחברים שיכולים לומר z = x + iy. {\ Displaystyle z = x + iy.}
    • כפי שאנו רואים, כעת יש לנו פתרון למשוואה x2 + 1 = 0. {\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0.} לאחר השימוש בנוסחה הריבועית, יש לנו x = ± i. {\ Displaystyle x = \ pm אני.}
  2. 2
    הבן את הכוחות של i {\ displaystyle i} . אמרנו ש i = −1. {\ Displaystyle i = {\ sqrt {-1}}.} ואז i2 = −1. {\ Displaystyle i ^ {2} = - 1.} אם נכפיל את זה עם i {\ שוב, תצוגת i} נקבל i3 = −i. {\ displaystyle i ^ {3} = - i.} הכפל את i2 {\ displaystyle i ^ {2}} עם עצמה ואנחנו מקבלים i4 = 1. {\ displaystyle i ^ {4} = 1.} זה מדגיש מאפיין מוזר של היחידה הדמיונית. לוקח ארבעה מחזורים כדי להגיע ל -1 (מספר חיובי), ואילו המספר בשורת המספרים האמיתית -1 לוקח רק שניים.
  3. 3
    הבחין בין מספרים אמיתיים למספרים דמיוניים בלבד. מספר אמיתי הוא מספר שאתה כבר מכיר; זה קיים בשורת המספרים האמיתית. מספר דמיוני טהור הוא מספר שהוא כמה מכפילים של i. {\ Displaystyle i.} מושג המפתח שיש לציין כאן הוא שאף אחד מהמספרים הדמיוניים הטהורים הללו לא נמצא בשורת המספרים האמיתית. במקום זאת הם שוכבים על קו המספרים הדמיוני.
    • להלן מספר דוגמאות למספרים אמיתיים.
      • 6 {\ displaystyle 6}
      • 145231 {\ displaystyle {\ frac {145} {231}}}
      • π {\ displaystyle \ pi}
    • להלן מספר דוגמאות למספרים דמיוניים.
      • 2i {\ displaystyle 2i}
      • (3 + 5) i {\ displaystyle ({\ sqrt {3}} + {\ sqrt {5}}) i}
    • מה משותף לכל חמשת המספרים הללו? כולם חלק מהשדה המכונה המספרים המורכבים.
    • המספר 0 בולט בכך שהוא אמיתי וגם דמיוני.
  4. 4
    הרחב את שורת המספרים האמיתית למימד השני. על מנת להקל על המספרים הדמיוניים עלינו לצייר ציר נפרד. ציר אנכי זה נקרא הציר הדמיוני, המסומן על ידי ה- Im {\ displaystyle \ mathrm {Im}} בגרף שלמעלה. באופן דומה, קו המספרים האמיתי שאתה מכיר הוא הקו האופקי, המסומן על ידי Re. {\ Displaystyle \ mathrm {Re}.} קו המספרים האמיתי שלנו הורחב כעת למישור המורכב הדו-ממדי , המכונה לפעמים ארגנד. תרשים.
    • כפי שאנו רואים, ניתן לייצג את המספר a + bi {\ displaystyle a + bi} במישור המורכב על ידי ציור חץ מהמקור לאותה נקודה.
    • מספר מורכבים יכול גם להיחשב הקואורדינטות במטוס, אם כי חשוב מאוד להבין כי אנחנו לא מתמודדים עם XY-המטוס האמיתי. זה פשוט נראה אותו דבר כי שניהם דו ממדיים.
    • אולי אחד החלקים הכי לא אינטואיטיביים בהבנת מספרים מורכבים הוא שכל מערכת מספרים שעסקנו בה - מספרים שלמים, רציונלים, ריאלים - נחשבת "מסודרת". לדוגמא, הגיוני לחשוב על 6 כגדולה מ- 4. אך במישור המורכב אין משמעות להשוות אם 4 + i {\ displaystyle 4 + i} גדול מ- 3 + 2i. {\ Displaystyle 3+ 2i.} במילים אחרות, המספרים המורכבים הם שדה לא מסודר.
  5. 5
    לפרק את המספרים המורכבים למרכיבים האמיתיים והדמיוניים. בהגדרה, כל מספר מורכב יכול להיות כתוב בצורה z = a + bi. {\ Displaystyle z = a + bi.} אנו יודעים כי i = −1, {\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}}, } אז מה מייצגים {\ displaystyle a} ו- b {\ displaystyle b} ?
    • {\ displaystyle a} נקרא החלק האמיתי של המספר המורכב. אנו מציינים זאת באומרנו כי Re⁡z = a. {\ Displaystyle \ operatorname {Re} z = a.}
    • b {\ displaystyle b} נקרא החלק הדמיוני של המספר המורכב. אנו מציינים זאת באומרנו כי Im⁡z = b. {\ Displaystyle \ operatorname {Im} z = b.}
    • (חשוב!) גם החלקים האמיתיים וגם הדמיוניים הם מספרים ממשיים. לכן כשמישהו מתייחס לחלק הדמיוני של מספר מורכב כלשהו w = c + di, {\ displaystyle w = c + di,} הם תמיד מתייחסים למספר האמיתי d, {\ displaystyle d,} לא di. {\ Displaystyle di.} בהחלט, די {\ displaystyle di} הוא מספר דמיוני . אבל זה לא החלק הדמיוני של המספר המורכב w. {\ Displaystyle w.}
    • כתרגיל בסיסי, מצא את החלקים האמיתיים והדמיוניים של המספרים המורכבים שניתנו בשלב 1 של חלק זה.
  6. 6
    הגדר את הצמידה המורכבת. הצירוף המורכב z¯ = a-bi {\ displaystyle {\ bar {z}} = a-bi} מוגדר כ z {\ displaystyle z} אך עם סימן החלק הדמיוני הפוך. צמידות שימושיות מאוד במספר תרחישים. יתכן שכבר מכירים את העובדה שפתרונות מורכבים למשוואות פולינומים מגיעים בזוגות מצומדים. כלומר, אם z0 {\ displaystyle z_ {0}} הוא פיתרון, אז גם z0¯ {\ displaystyle {\ bar {z_ {0}}}} צריך להיות אחד כזה.
    • מה המשמעות של צמידות במישור המורכב? הם ההשתקפות מעל הציר האמיתי. כפי שניתן לראות בתרשים לעיל, למספר המורכב z = x + iy {\ displaystyle z = x + iy} יש חלק אמיתי x {\ displaystyle x} וחלק דמיוני y. {\ Displaystyle y.} הצמידה שלו z¯ = x − iy {\ displaystyle {\ bar {z}} = x-iy} יש את אותו החלק האמיתי x {\ displaystyle x} אך חלק דמיוני שלילי - y. {\ displaystyle -y.}
  7. 7
    חשוב על מספרים מורכבים כעל אוסף של שני מספרים ממשיים. מכיוון שמספרים מורכבים מוגדרים כך שהם מורכבים משני מרכיבים, זה הגיוני מבחינתם בתור דו ממדי. מנקודת מבט זו, הגיוני יותר לעשות אנלוגיות המשתמשות בפונקציות של שני משתנים אמיתיים, במקום אחד בלבד, למרות שרוב הפונקציות המורכבות הן פונקציות של משתנה מורכב אחד.
חשוב על מספרים מורכבים כעל אוסף של שני מספרים ממשיים
חשוב על מספרים מורכבים כעל אוסף של שני מספרים ממשיים.

חלק 2 מתוך 4: חשבון

  1. 1
    הרחב את שיטות החשבון למספרים מורכבים. עכשיו, כשאנחנו יודעים במה מדובר במספרים מורכבים, בואו נעשה איתם חשבון. מספרים מורכבים דומים לווקטורים במובן זה, מכיוון שאנו מוסיפים ומחסרים את מרכיביהם.
    • נניח שרצינו להוסיף שני מספרים מורכבים z = a + bi {\ displaystyle z = a + bi} ו- w = c + di. {\ Displaystyle w = c + di.} ואז הוספת שני המספרים המורכבים האלה היא פשוטה כהוספת המרכיבים האמיתיים והדמיוניים בנפרד. כל מה שאנחנו עושים זה להוסיף את החלקים האמיתיים, להוסיף את החלקים הדמיוניים ולסכם אותם.
      • z + w = (a + c) + (b + d) i {\ displaystyle z + w = (a + c) + (b + d) i}
    • אותו רעיון עובד גם לחיסור.
      • z − w = (a − c) + (b − d) i {\ displaystyle zw = (ac) + (bd) i}
    • הכפל דומה ל- FOILing מאלגברה.
      • zw = (a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (bc + ad) i {\ displaystyle zw = (a + bi) (c + di) = (ac-bd) + (bc + מודעה) i}
    • החלוקה דומה לרציונליזציה של המכנה גם מאלגברה. אנו מכפילים את המונה ואת המכנה בצירוף המכנה.
      • zw = a + bic + di = (a + bi) (c-di) (c + di) (c-di) = ac + bdc2 + d2 + bc-adc2 + d2i {\ displaystyle {\ frac {z} { w}} = {\ frac {a + bi} {c + di}} = {\ frac {(a + bi) (c-di)} {(c + di) (c-di)}} = {\ frac {ac + bd} {c ^ {2} + d ^ {2}}} + {\ frac {bc-ad} {c ^ {2} + d ^ {2}}} i}
    • הנקודה בהצגת צעדים אלה היא לא להפיק נוסחאות לשינון, למרות שהם כן עובדים. הנקודה היא להראות שפעולות החיבור, החיסור, הכפל והחלוקה של שני מספרים מורכבים כולם חייבים להפיק מספר מורכב אחר שניתן לכתוב בצורה z = x + iy. {\ Displaystyle z = x + iy.} הוספת שני מספרים מורכבים נותנת מספר מורכב נוסף, חלוקה של שני מספרים מורכבים נותנת גם מספר מורכב נוסף וכו '.
    • בעודם מבולגנים, תתי-המשנה שלעיל הוצגו כך שאנו בטוחים שחשבון המספרים המורכבים תואם את האופן שהגדרנו אותם.
  2. 2
    הרחב את מאפייני התוספת של מספרים אמיתיים למספרים מורכבים. אתה מכיר את המאפיינים הקומוטטיביים והאסוציאטיביים של מספרים אמיתיים. מאפיינים כאלה משתרעים גם על המספרים המורכבים.
    • הוספת שני מספרים מורכבים היא קומוטטיבית, מכיוון שאנחנו מוסיפים את הרכיבים האמיתיים בנפרד, ואנחנו יודעים שתוספת מספרים אמיתיים היא קומוטטיבית.
      • z + w = w + z {\ displaystyle z + w = w + z}
    • הוספת שני מספרים מורכבים הינה אסוציאטיבית, מסיבה דומה.
      • (z + w) + v = z + (w + v) {\ displaystyle (z + w) + v = z + (w + v)}
    • קיימת זהות תוספת של מערכת המספרים המורכבת. זהות זו נקראת 0.
      • z + 0 = z {\ displaystyle z + 0 = z}
    • קיים תוסף הפוך של מספר מורכב. סכום המספר המורכב עם התוסף ההפוך שלו הוא 0.
      • z + (- z) = 0 {\ displaystyle z + (- z) = 0}
  3. 3
    הרחב את מאפייני הכפל של מספרים אמיתיים למספרים מורכבים.
    • המאפיין הקומוטטיבי מחזיק לכפל.
      • zw = wz {\ displaystyle zw = wz}
    • המאפיין האסוציאטיבי מחזיק גם לכפל.
      • (zw) v = z (wv) {\ displaystyle (zw) v = z (wv)}
    • הנכס החלוקתי מחזיק במספרים מורכבים.
      • z (w + v) = zw + zv {\ displaystyle z (w + v) = zw + zv}
    • קיימת זהות מכפלת של מערכת המספרים המורכבת. זהות זו נקראת 1.
      • z (1) = z {\ displaystyle z (1) = z}
    • קיים היפוך כפול של מספר מורכב. התוצר של מספר מורכב עם ההופך הכפול שלו הוא 1.
      • z1z = 1 {\ displaystyle z {\ frac {1} {z}} = 1}
    • למה לטרוח להציג את המאפיינים האלה? עלינו לוודא שהמספרים המורכבים הם "עצמיים". כלומר, הם מספקים את מרבית המאפיינים של המספרים האמיתיים שכולנו מכירים, עם אזהרה נוספת אחת הזרה למערכת המספרים האמיתית: i2 = −1, {\ displaystyle i ^ {2} = - 1,} וזה מה מייחד את המספרים המורכבים. המאפיינים שהונחו בשני השלבים האחרונים נחוצים בכדי לקרוא למספרים המורכבים "שדה". למשל, אם אין דבר כזה הפוך מכפל של מספר מורכב, אז אנחנו לא יכולים להגדיר מהי חלוקה.
    • למרות שמושג קפדני של שדה הוא מחוץ לתחום של מאמר זה, בעצם הרעיון הוא שהתכונות המוצגות לעיל חייבות להיות נכונות על מנת שהדברים במישור המורכב יסתדרו לכל המספרים המורכבים, ממש כמו שדה הריאלי. מספרים. למרבה המזל, כל המושגים הללו הם אינטואיטיביים במציאות, כך שניתן להרחיב אותם בקלות למספרים המורכבים.

חלק 3 מתוך 4: צורה קוטבית

  1. 1
    נזכר בתמורות הקואורדינטות מקואורדינטות קרטזיאניות (מלבניות) לקואורדינטות קוטביות. במישור הקואורדינטות האמיתי, הקואורדינטות יכולות להיות מלבניות או קוטביות. במערכת הקרטזית ניתן לתייג כל נקודה ברכיב אופקי ואנכי. במערכת הקוטבית נקודה מסומנת עם המרחק מהמקור (הגודל) והזווית מציר הקוטב. טרנספורמציות קואורדינטות כאלה מובאות להלן.
    • x = rcos⁡θ {\ displaystyle x = r \ cos \ theta}
    • y = rsin⁡θ {\ displaystyle y = r \ sin \ theta}
    • כשמסתכלים על התרשים לעיל, המספר המורכב z {\ displaystyle z} מכיל שתי פיסות מידע המגדירות אותו: r {\ displaystyle r} ו- ϕ. {\ Displaystyle \ phi.} R {\ displaystyle r} נקרא המודול של המספר, ואילו ϕ {\ displaystyle \ phi} נקרא הטיעון.
  2. 2
    כתוב את המספר המורכב בצורה קוטבית. תחליף, יש לנו את הביטוי למטה.
    • z = r (cos⁡θ + isin⁡θ) {\ displaystyle z = r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta)}
    • זהו המספר המורכב בצורה קוטבית. יש לנו את העוצמה שלו r = x2 + y2 {\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} מבחוץ. בתוך הסוגריים יש לנו את הרכיבים הטריגונומטריים, הקשורים לקואורדינטות הקרטזיות לפי θ = tan − 1⁡yx. {\ Displaystyle \ theta = \ tan ^ {- 1} {\ frac {y} {x}}.}
    • לפעמים הביטוי בתוך הסוגריים נכתב כ- cis⁡θ, {\ displaystyle \ operatorname {cis} \ theta,} שהוא קיצור של " c osine plus i sine".
  3. 3
    דחס את הסימון באמצעות הנוסחה של אוילר. הנוסחה של אוילר eiθ = cos⁡θ + isin⁡θ {\ displaystyle e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta} הוא אחד היחסים השימושיים ביותר בניתוח מורכב מכיוון שהוא מקשר ביסודו את האקספוננציאציה לטריגונומטריה. החלק הבא של מאמר זה נותן הדמיה של הפונקציה האקספוננציאלית המורכבת, בעוד שנגזרת הסדרה הקלאסית ניתנת בטיפים.
    • z = reiθ {\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}}
    • נכון לעכשיו, תוכלו לשאול, כיצד ניתן לייצג מספר מורכב כלשהו כמספר פעמים כמעריכי? הסיבה היא שמכיוון שמעריכים מורכבים הם סיבובים במישור המורכב, המונח eiθ {\ displaystyle e ^ {i \ theta}} נותן לנו את המידע על הזווית.
  4. 4
    כתוב את הצירוף המורכב בקואורדינטות קוטביות. אנו יודעים שבמישור המורכב, הצמידה היא פשוט השתקפות מעל הציר האמיתי. פירוש הדבר שחלק ה- cos⁡θ {\ displaystyle \ cos \ theta} אינו משתנה, אך ה- sin⁡θ {\ displaystyle \ sin \ theta} משנה את הסימן.
    • z¯ = r (cos⁡θ − isin⁡θ) {\ displaystyle {\ bar {z}} = r (\ cos \ theta -i \ sin \ theta)}
    • כאשר אנו דוחסים את הסימון באמצעות הנוסחה של אוילר, אנו מגלים שהסימן של המעריך נשלל.
      • z¯ = re − iθ {\ displaystyle {\ bar {z}} = re ^ {- i \ theta}}
  5. 5
    חזור על הכפל והחלוקה באמצעות סימון קוטבי. נזכיר מחלק 2 שלמרות שחיבור וחיסור בקואורדינטות הקרטזיות היו פשוטים, פעולות החשבון האחרות היו מגושמות למדי. בשנת קואורדינטות קוטביות, לעומת זאת, הם נעשים הרבה יותר קלים.
    • להכפיל שני מספרים מורכבים זה להכפיל את המודולים שלהם ולהוסיף את הטיעונים שלהם. אנו יכולים לעשות זאת בגלל מאפייני המעריכים.
      • z1z2 = (r1eiθ1) (r2eiθ2) = r1r2ei (θ1 + θ2) {\ displaystyle z_ {1} z_ {2} = (r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}) (r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}}) = r_ {1} r_ {2} e ^ {i (\ theta _ {1} + \ theta _ {2})}}
    • לחלק שני מספרים מורכבים זה לחלק את המודולים שלהם ולהחסיר את הטיעונים שלהם.
      • z1z2 = r1eiθ1r2eiθ2 = r1r2ei (θ1 − θ2) {\ displaystyle {\ frac {z_ {1}} {z_ {2}}} = {\ frac {r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}} {r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}}}} = {\ frac {r_ {1}} {r_ {2}}} e ^ {i (\ theta _ {1} - \ theta _ {2})}}
    • מבחינה גיאומטרית, זה הופך את המספרים המורכבים להרבה יותר קלים לתפיסה, ומפשט כמעט כל מה שקשור למספרים מורכבים באופן כללי.
הרחב את מאפייני התוספת של מספרים אמיתיים למספרים מורכבים
הרחב את מאפייני התוספת של מספרים אמיתיים למספרים מורכבים.

חלק 4 מתוך 4: הדמיה של הפונקציה האקספוננציאלית

  1. 1
    הבן את עלילת גלגל הצבעים של פונקציה מורכבת. פונקציות מורכבות דורשות ארבעה ממדים כדי להמחיש באופן מלא את התנהגותן, מכיוון שמספר מורכב מורכב משני חלקים אמיתיים. עם זאת, אנו יכולים לחצות מעבר למכשול זה על ידי שימוש בגוון ובהירות כפרמטרים שלנו.
    • הבהירות היא הערך המוחלט (מודולוס) של פלט הפונקציה. עלילת הפונקציה האקספוננציאלית שלמטה מגדירה את השחור כ- 0.
    • הגוון הוא הזווית (טיעון) של פלט הפונקציה. אחת המוסכמות היא להגדיר אדום כזווית θ = 0. {\ Displaystyle \ theta = 0.} ואז, במרווחים של π3, {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3}},} הצבע הולך מצהוב, ירוק, ציאן, כחול, מגנטה, לאדום שוב, מעבר לגלגל הצבעים.
  2. 2
    דמיינו את הפונקציה האקספוננציאלית. העלילה המורכבת של הפונקציה האקספוננציאלית נותנת תובנות כיצד ניתן לקשר אותה לפונקציות הטריגונומטריות.
    • כאשר אנו מגבילים את עצמנו לציר האמיתי, הבהירות עוברת מכהה (קרוב ל -0) בשליליות, לאור בהווה, כצפוי.
    • כאשר אנו מגבילים את עצמנו לציר הדמיוני, לעומת זאת, הבהירות נשארת זהה, אך הגוון משתנה מעת לעת, עם תקופה של 2π. {\ Displaystyle 2 \ pi.} המשמעות היא שהמערכת האקספוננציאלית המורכבת eiθ {\ displaystyle e ^ { i \ theta}} הוא תקופתי בכיוון הדמיוני. ניתן לצפות מהנוסחה של אוילר, מכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות cos⁡θ {\ displaystyle \ cos \ theta} ו- sin⁡θ {\ displaystyle \ sin \ theta} הן תקופתיות עם תקופות של 2π {\ displaystyle 2 \ pi} כל אחת גם כן.
קרא גם: איך מכינים פיצוץ בסידני?

טיפים

  • בשלב 4 של חלק 3, דחסנו את הצורה הקוטבית באמצעות הנוסחה של אוילר, אך נוסחה זו במבט ראשון נראית לא אינטואיטיבית. נגזרת הנוסחה של אוילר מובאת להלן.
    • נזכיר כי ניתן לכתוב את הפונקציה האמיתית ex {\ displaystyle e ^ {x}} במונחים של סדרת טיילור.
      • ex = 1 + x + x22! + x33! + ⋯ {\ displaystyle e ^ {x} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {3} } {3!}} + \ Cdots}
    • ניתן לתת סדרת טיילור לקוסינוס וסינוס באופן דומה.
      • cos⁡x = 1 − x22! + x44! - ⋯ {\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - \ cdots}
      • sin⁡x = x − x33! + x55! - ⋯ {\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - \ cdots}
    • מה המשמעות של הפונקציה האקספוננציאלית במונחים של מספרים מורכבים? אנו מגדירים זאת עם המספר המורכב z. {\ Displaystyle z.}
      • ez = 1 + z + z22! + z33! + ⋯ {\ displaystyle e ^ {z} = 1 + z + {\ frac {z ^ {2}} {2!}} + {\ frac {z ^ {3} } {3!}} + \ Cdots}
    • הכל טוב אם z {\ displaystyle z} הוא מספר אמיתי בלבד. אנו פשוט משחזרים את הפונקציה האקספוננציאלית הרגילה. אבל מה אם z = iy {\ displaystyle z = iy} היה מספר דמיוני לחלוטין? אנו מקבלים את הפשטים הבאים כי אנו זוכרים ש- i2 = -1. {\ Displaystyle i ^ {2} = - 1.}
      • eiy = 1 + iy + (iy) 22! + (iy) 33! + (iy) 44! + ⋯ = (1 − y22! + y44! + ⋯) + i (y − y33! + y55! - ⋯) = cos⁡y + isin⁡y {\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {iy} & = 1 + iy + {\ frac {(iy) ^ {2}} {2!}} + {\ frac {(iy) ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {(iy) ^ {4}} {4!}} + \ Cdots \\ & = \ left (1 - {\ frac {y ^ {2} } {2!}} + {\ Frac {y ^ {4}} {4!}} + \ Cdots \ right) + i \ left (y - {\ frac {y ^ {3}} {3!}} + {\ frac {y ^ {5}} {5!}} - \ cdots \ right) \\ & = \ cos y + i \ sin y \ end {align}}}

קרא גם:

  1. איך ללמוד אלגברה?
  2. כיצד למצוא את הערך המקסימלי או המינימלי של פונקציה ריבועית בקלות?
מאמרים בנושאים דומים
  1. כיצד להמיר MPG לליטרים לכל 100 ק"מ?Leo Marshall
  2. איך לגדל ילדים להיות עשירים?Leo Marshall
  3. איך מכינים תה שמש?Leo Marshall
  4. איך מכינים משקה יונקי הדבש?Leo Marshall
  5. איך לעשות מרגל צפוני?Leo Marshall
  6. איך מכינים משקה קריפטונייט?Leo Marshall
FacebookTwitterInstagramPinterestLinkedInGoogle+YoutubeRedditDribbbleBehanceGithubCodePenWhatsappEmail