כיצד לשלב פונקציות גאוסיות?

Leo Marshall
Leo Marshall
• 14 דקות קריאה
הפונקציה הגאוסית היא אחד הפונקציות החשובות ביותר במתמטיקה ובמדעים
הפונקציה הגאוסית היא אחד הפונקציות החשובות ביותר במתמטיקה ובמדעים.

הפונקציה הגאוסית f (x) = e − x2 {\ displaystyle f (x) = e ^ {- x ^ {2}}} היא אחת הפונקציות החשובות ביותר במתמטיקה ובמדעים. הגרף האופייני לצורת פעמון שלו עולה בכל מקום החל מהתפלגות הנורמלית בסטטיסטיקה ועד למיקום מנות גל של חלקיק במכניקת הקוונטים.

כבר ראינו כיצד לחשב את טרנספורמציית פורייה של פונקציה גאוסית
כבר ראינו כיצד לחשב את טרנספורמציית פורייה של פונקציה גאוסית.

שילוב פונקציה זו על כל x {\ displaystyle x} היא משימה נפוצה ביותר, אך היא עומדת בפני הטכניקות של חשבון היסוד. שום שינוי של משתנים, שילוב לפי חלקים, החלפה טריגונומטרית וכו 'לא יפשט את האינטגרל. למעשה, לא ניתן לכתוב את האנטי-נגיד של הגאוס, פונקציית השגיאה, במונחים של פונקציות אלמנטריות. עם זאת, קיים פתרון מדויק לאינטגרל המובהק, אותו אנו מוצאים במאמר זה. אנו גם כללים את האינטגרל הגאוסי כדי להשיג תוצאות מעניינות יותר. הכללות אלה דורשות כמה טכניקות נוספות כגון בידול תחת האינטגרל והידע של פונקציית הגמא.

חלק 1 מתוך 3: אינטגרל גאוס

  1. 1
    התחל עם האינטגרל.
    • ∫ − ∞∞e − x2dx {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ mathrm {d} x}
  2. 2
    שקול את הריבוע של האינטגרל. אנו מרחיבים את האינטגרל הזה למישור xy {\ displaystyle xy} . הרעיון כאן הוא להפוך את הבעיה לאינטגרל כפול שניתן לפתור עבורה בקלות, ואז לקחת את השורש הריבועי.
    • ∫ − ∞∞dxe − x2∫ − ∞∞dye − y2 {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {d} xe ^ {- x ^ {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {d} ye ^ {- y ^ {2}}}
  3. 3
    המר לקואורדינטות קוטביות. נזכיר שהאזור האינטגרלי של מלבן קוטבי הוא בצורת rdrdθ, {\ displaystyle r \ mathrm {d} r \ mathrm {d} \ theta,} עם ה- r {\ displaystyle r} הנוסף שם על מנת לשנות את הזווית ליחידות אורך. ה- r הנוסף הזה {\ displaystyle r} הופך את האינטגרלים לטריוויאליים מכיוון שאנחנו יכולים לזהות r2 = x2 + y2. {\ Displaystyle r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}.}
    • ∫ − ∞∞dxe − x2∫ − ∞∞dye − y2 = ∫ − ∞∞dx∫ − ∞∞dye− (x2 + y2) = ∫0∞rdr∫02πdθe − r2 {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {d} xe ^ {- x ^ {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {d} ye ^ {- y ^ {2}} & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {d} x \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {d} ye ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} \\ & = \ int _ {0} ^ {\ infty} r \ mathrm {d} r \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d } \ theta e ^ {- r ^ {2}} \ end {align}}}
  4. 4
    הערך באמצעות החלפת u. תן ל- u = r2. {\ Displaystyle u = r ^ {2}.} ואז ההפרש du = 2rdr {\ displaystyle \ mathrm {d} u = 2r \ mathrm {d} r} יבטל את ה- r הנוסף {\ displaystyle r} שקיבלנו משינוי לקוטב. מכיוון שאין לאינטגרנד תלות θ {\ displaystyle \ theta}, אנו יכולים להעריך את האינטגרל θ {\ displaystyle \ theta} באופן מיידי.
    • ∫0∞rdr∫02πdθe − r2 = 2π∫0∞re − r2dr, u = r2 = π∫0∞e − udu = π (−e − ∞ + e0) = π {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} \ int _ {0} ^ {\ infty} r \ mathrm {d} r \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ theta e ^ {- r ^ {2}} & = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ infty} re ^ {- r ^ {2}} \ mathrm {d} r, \ quad u = r ^ {2} \\ & = \ pi \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- u} \ mathrm {d} u \\ & = \ pi (-e ^ {- \ infty} + e ^ {0}) \\ & = \ pi \ end {align} }}
  5. 5
    מגיעים לאינטגרל של גאוס. מכיוון שהערכנו את ריבוע האינטגרל, אנו נוטלים את השורש הריבועי של התוצאה שלנו.
    • ∫ − ∞∞e − x2dx = π {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ mathrm {d} x = {\ sqrt {\ pi}} }
    • חשוב לציין שהפונקציה הגאוסית היא אפילו.
      • ∫ − ∞∞e − x2dx = 2∫0∞e − x2dx = 2⋅π2 {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ mathrm {d} x = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ mathrm {d} x = 2 \ cdot {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}}}
  6. 6
    שקול את האינטגרל של הפונקציה הגאוסית הכללית. פונקציה זו נקבעת על ידי הפרמטרים a {\ displaystyle a} ו- σ, {\ displaystyle \ sigma,} כאשר {\ displaystyle a} הוא קבוע (נורמליזציה) הקובע את גובה עקומת הפעמון ו- σ {\ displaystyle \ sigma} היא סטיית התקן שקובעת את רוחב העקומה.
    • f (x) = ae − x22σ2 {\ displaystyle f (x) = ae ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}
    • בצע את השלבים המוצגים לעיל כדי לאמת אינטגרל זה.
      • ∫ − ∞∞ae − x22σ2dx = aσ2π {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} ae ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}} \ mathrm {d} x = a \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}
    • דרך נוספת לנסח את הבעיה היא אם יש לנו גאוס בצורה e − αx2. {\ Displaystyle e ^ {- \ alpha x ^ {2}}.} ודא גם את האינטגרל הזה.
      • ∫ − ∞∞e − αx2dx = πα {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- \ alpha x ^ {2}} \ mathrm {d} x = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}}}
  7. 7
    (אופציונלי) נרמל את האזור כדי למצוא את קבוע הנורמליזציה a {\ displaystyle a} . ביישומים רבים, רצוי שהאזור של הגאוס יוגדר לאחדות. במקרה זה, אנו קובעים aσ2π = 1 {\ displaystyle a \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}} = 1} ונפתור עבור a. {\ Displaystyle a.}
    • a = 1σ2π {\ displaystyle a = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}}}
    • הנה, אנו מגיעים לגאוס המנורמל, הרצוי כל כך ביישומים כמו תורת ההסתברות ומכניקת הקוונטים.
      • f (x) = 1σ2πe − x22σ2 {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}
האינטגרל הגאוסי הוא תוצאה שבאמצעותה ניתן למצוא אינטגרלים רבים הקשורים
האינטגרל הגאוסי הוא תוצאה שבאמצעותה ניתן למצוא אינטגרלים רבים הקשורים.

חלק 2 מתוך 3: הכללות

  1. 1
    שקול את האינטגרל להלן. האינטגרל הגאוסי ∫0∞e − αx2dx = 12πα {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ alpha x ^ {2}} \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}}} היא תוצאה שבה ניתן להשתמש כדי למצוא אינטגרלים קשורים רבים. אלה שלמטה נקראים רגעים של הגאוס. להלן, n {\ displaystyle n} הוא מספר חיובי.
    • ∫0∞xne − x2dx {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {n} e ^ {- x ^ {2}} \ mathrm {d} x}
  2. 2
    אם n {\ displaystyle n} הוא אחיד, שקול את האינטגרל הקשור (כתוב להלן) והבדל תחת האינטגרל. התוצאה מההבחנה מתחת לאינטגרל היא שאפילו כוחות של x {\ displaystyle x} יורדים. שימו לב שככל שהאינטגרל מתבטל, התוצאה מימין גם מתבטלת בגלל הכוח השלילי ב- α, {\ displaystyle \ alpha,} כך שהתשובות נשארות חיוביות. מכיוון שהבחנה קלה בהרבה משילוב, נוכל לעשות זאת כל היום, ולוודא להגדיר α = 1 {\ displaystyle \ alpha = 1} בזמן נוח. אנו מפרטים כמה מהאינטגרלים הבאים. דאג לאמת אותם בעצמך.
    • ∫0∞e − αx2dx = 12πα {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ alpha x ^ {2}} \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2} } {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}}}
    • ∫0∞x2e − x2dx = −∫0∞∂∂αe − αx2dx = −ddα (12πα) = π4 {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {2} e ^ {- x ^ { 2}} \ mathrm {d} x = - \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha}} e ^ {- \ alpha x ^ {2}} \ mathrm {d} x = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ alpha}} \ left ({\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} { \ alpha}}} \ right) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {4}}}
    • ∫0∞x4e − x2dx = 3π8 {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {4} e ^ {- x ^ {2}} \ mathrm {d} x = {\ frac {3 { \ sqrt {\ pi}}} {8}}}
    • ∫0∞x6e − x2dx = 15π16 {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {6} e ^ {- x ^ {2}} \ mathrm {d} x = {\ frac {15 { \ sqrt {\ pi}}} {16}}}
  3. 3
    אם n {\ displaystyle n} אינו אחיד, השתמש ב- u-sub u = x2 {\ displaystyle u = x ^ {2}} . אז נוכל להשתמש בפונקציה Gamma כדי להעריך בקלות. להלן, אנו בוחרים n = 9 {\ displaystyle n = 9} ו- n = 0,33 {\ displaystyle n = 0,33} כדוגמאות.
    • ∫0∞x9e − x2dx = 12∫0∞u4e − udu = 4! 2 = 12 {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {9} e ^ {- x ^ {2}} \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} u ^ {4} e ^ {- u} \ mathrm {d} u = {\ frac {4!} {2}} = 12}
    • ∫0∞x0,33e − x2dx = 12∫0∞u − 0,33e − udu = Γ (0,67) 2 {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {0,33} e ^ {- x ^ {2}} \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} u ^ {- 0,33} e ^ {- u } \ mathrm {d} u = {\ frac {\ Gamma (0,67)} {2}}}
    • מעניין לציין שהיינו יכולים להשתמש בפונקציה Gamma אפילו n {\ displaystyle n} . זוהי שיטה כללית יותר להערכת סוגים אלה של אינטגרלים שבדרך כלל אינה מעורבת יותר מאשר הבחנה תחת האינטגרל.
  4. 4
    הגדר α = i {\ displaystyle \ alpha = i} כדי להשיג שלושה אינטגרלים. התוצאה היא כללית מספיק כך α {\ displaystyle \ alpha} אפילו יכול לקחת על ערכים מורכבים, כמו ארוך כמו Re⁡ (α) ≥0. {\ Displaystyle \ operatorname {Re} (\ alpha) \ GEQ 0.} נזכיר הנוסחה של אוילר המתייחסת לפונקציה האקספוננציאלית המורכבת לפונקציות הטריגונומטריות. אם ניקח את החלקים האמיתיים והדמיוניים של התוצאה שלנו, נקבל שני אינטגרלים בחינם. לאף אחד משני האינטגרלים האמיתיים אין תרופות אנטי-תרופות שניתן לכתוב בצורה סגורה.
    • e − ix2 = cos⁡x2 − isin⁡x2 {\ displaystyle e ^ {- ix ^ {2}} = \ cos x ^ {2} -i \ sin x ^ {2}}
    • ∫0∞e − ix2dx = 12πi = π2e − iπ / 4 = π22 (1 − i) {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- ix ^ {2}} \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {i}}} = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} e ^ {- i \ pi / 4} = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2 {\ sqrt {2}}}} (1-i)}
    • ∫0∞cos⁡x2dx = ∫0∞sin⁡x2dx = π22 {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos x ^ {2} \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin x ^ {2} \ mathrm {d} x = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2 {\ sqrt {2}}}}}
    • שני אינטגרלים אלה הם מקרים מיוחדים של אינטגרלים פרנל, בהם הם חשובים בחקר האופטיקה.
    • אם אינך מכיר מאוד מספרים מורכבים, ניתן לשכתב את המספר i {\ displaystyle i} בצורה קוטבית כ- eiπ / 2, {\ displaystyle e ^ {i \ pi / 2},} מכיוון שמעריכים דמיוניים הם סיבובים ב מישור מורכב - במקרה זה, בזווית של π / 2.. {\ displaystyle \ pi / 2.} צורה קוטבית מפשטת כמעט את כל מה שקשור למספרים מורכבים, כך שנוכל לנקוט בשורש הריבועי בקלות.
  5. 5
    חשב את הטרנספורמציה הארבעית של הפונקציה הגאוסית על ידי השלמת הריבוע. חישוב טרנספורמציית פורייה הוא פשוט מאוד מבחינה חישובית, אך הוא דורש שינוי קל. אנו בוחרים להשלים את הריבוע מכיוון שאנו מכירים בתכונה שהאינטגרל אינו תלוי במשמרת (ראה הדיון). מכיוון שעלינו להוסיף 0 על מנת שלא לשנות את האינטגרנד, עלינו לפצות על ידי הוספת מונח −ω24 {\ displaystyle - {\ frac {\ omega ^ {2}} {4}}} . צפו בשלטים - הם יכולים להיות מסובכים.
    • F {e − t2} = ∫ − ∞∞e − t2e − iωtdt = ∫ − ∞∞e− (t2 + iωt − ω0,5 + ω0,5) dt = e − ω0,5∫ − ∞∞e− (t + iω / 2) 2dt = πe − ω0,5 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {F}} \ {e ^ {- t ^ {2}} \} & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ {2}} e ^ {- i \ omega t} \ mathrm {d} t \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- (t ^ {2} + i \ omega t- \ omega ^ {2} / 4 + \ omega ^ {2} / 4)} \ mathrm {d} t \\ & = e ^ {- \ אומגה ^ {2} / 4} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- (t + i \ omega / 2) ^ {2}} \ mathrm {d} t \\ & = { \ sqrt {\ pi}} e ^ {- \ omega ^ {2} / 4} \ end {align}}}
    • מעניין שטרנספורמציית פורייה של גאוסיאנית היא גאוסית אחרת (בקנה מידה), תכונה שיש למעט פונקציות אחרות (הפרש ההיפרבולי, שתפקידו מעוצב גם כעקומת פעמון, הוא גם טרנספורמציית פורייה משלו).
    • ניתן להשתמש בטכניקה זו של השלמת הריבוע למציאת אינטגרלים כמו אלה שלמטה. אמת זאת על ידי בחינת הביטוי "המורכב" eiαx / β {\ displaystyle e ^ {i \ alpha x / \ beta}} ואז לקחת את החלק האמיתי של התוצאה.
      • ∫ − ∞∞cos⁡αxβe − x2dx = πe − α0,5β2 {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ cos {\ frac {\ alpha x} {\ beta}} e ^ {- x ^ {2}} \ mathrm {d} x = {\ sqrt {\ pi}} e ^ {- \ alpha ^ {2} / 4 \ beta ^ {2}}}
במונחים של פונקציות אלמנטריות
למעשה, לא ניתן לכתוב את האנטי-נגיד של הגאוס, פונקציית השגיאה, במונחים של פונקציות אלמנטריות.

חלק 3 מתוך 3: פונקציית שגיאה

  1. 1
    הגדר את פונקציית השגיאה. לעתים קרובות יש להעריך את האינטגרל הגאוסי מעבר לקו האמיתי. עם זאת, יישומים רבים אחרים, כגון דיפוזיה וסטטיסטיקה, דורשים קשר כללי יותר.
    • מכיוון שלפונקציה הגאוסית אין אנטי-וירטיבי שניתן לכתוב במונחים של פונקציות אלמנטריות, אנו מגדירים את פונקציית השגיאה erf⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x)} כנוגדת של הגאוסי. זוהי פונקציה מיוחדת המוגדרת באופן מקובל עם גורם נורמליזציה המבטיח טווח של x∈ (−11). {\ Displaystyle x \ in (-11).} יש לה צורה סיגמואידית בדומה לפונקציה הלוגיסטית.
      • erf⁡ (x) = 2π∫0xe − t2dt {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {-t ^ {2}} \ mathrm {d} t}
    • נוח להגדיר גם את פונקציית השגיאה המשלימה.
      • erfc⁡ (x) = 1 − erf⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x) = 1- \ operatorname {erf} (x)}
    • יש לציין כי פעולת הגדרת פונקציה מיוחדת זו אינה מעניקה תובנות חדשות או גיחות בסיסיות במתמטיקה. זו בסך הכל הגדרה של פונקציה שבמקרה נתקלים בה לעתים קרובות מספיק כדי לקבל את השם שלה.
  2. 2
    פתור את משוואת החום החד-ממדית בהינתן תנאים ראשוניים. כדוגמה ליישום הדורש שימוש בפונקציית השגיאה, אנו פותרים את משוואת החום באמצעות טרנספורמציות פורייה כשהתנאים הראשוניים הם הפונקציה המלבנית. למטה, α {\ displaystyle \ alpha} ידוע כמקדם דיפוזיה.
    • ∂u∂t − α∂2u∂x2 = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - \ alpha {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ { 2}}} = 0}
    • u (x, 0) = u0 (x) = {1 | x | ≤0,50 | x |> 0,5 {\ displaystyle u (x, 0) = u_ {0} (x) = {\ begin { מקרים} 1 & | x | \ leq 0,5 \\ 0 & | x |> 0,5 \ end {cases}}}
  3. 3
    מצא את הפתרון הבסיסי. הפתרון הבסיסי U (x, t) {\ displaystyle U (x, t)} הוא הפיתרון למשוואת החום בהתחשב בתנאים ראשוניים של מקור נקודה, פונקציית הדלתא של Dirac. הפתרון הבסיסי בהקשר זה מכונה גם גרעין החום.
    • אנו מבצעים טרנספורמציה של פורייה להמרה ממרחב אמיתי למרחב ξ {\ displaystyle \ xi} כדי להשיג משוואת דיפרנציאל רגילה ב- t. {\ Displaystyle t.} ואז אנחנו פשוט פותרים את u ^ (ξ, t). {\ Displaystyle {\ hat {u}} (\ xi, t).} המאפיין השימושי של טרנספורמציית פורייה שאנו מנצלים כאן הוא שהטרנספורמציה של פורייה של נגזרת של סדר n {\ displaystyle n} תואמת לכפל של (iξ) n {\ displaystyle (i \ xi) ^ {n}} במרחב ξ {\ displaystyle \ xi} .
      • ∂u ^ ∂t + αξ2u ^ = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ hat {u}}} {\ partial t}} + \ alpha \ xi ^ {2} {\ hat {u}} = 0}
    • קבועה נוספת פשוט מתאים לתנאי התחלה.
      • u ^ (ξ, t) = u ^ 0 (ξ) e − αξ2t {\ displaystyle {\ hat {u}} (\ xi, t) = {\ hat {u}} _ {0} (\ xi) e ^ {- \ alpha \ xi ^ {2} t}}
    • עכשיו עלינו להפוך חזרה למרחב אמיתי. זה נוח לנו מכיוון שכפל במרחב ξ {\ displaystyle \ xi} תואם להתמוטטות במרחב האמיתי. הפתרון הבסיסי הוא אז פשוט טרנספורמציית פורייה הפוכה של המונח האקספוננציאלי, המוצג להלן. זה נחשב לפיתרון הבסיסי מכיוון שפונקציית הדלתא היא מפעיל הזהות של ההתמוטטות: δ (x) ∗ U (x, t) = U (x, t). {\ Displaystyle \ delta (x) * U (x, t) = U (x, t).}
      • u (x, t) = u0 (x) ∗ F − 1 {e − αξ2t} {\ displaystyle u (x, t) = u_ {0} (x) * {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left \ {e ^ {- \ alpha \ xi ^ {2} t} \ right \}}
    • כבר ראינו כיצד לחשב את טרנספורמציית פורייה של פונקציה גאוסית. אנו מיישמים כאן את הטכניקה של השלמת הריבוע.
    • U (x, t) = F − 1 {e − αξ2t} = 12π∫ − ∞∞e − αξ2teixξdξ = 12π∫ − ∞∞e − αt (ξ2−2ixξ2αt − x24α2t2) e − x0,5αtdξ = 12πe − x0, 5αt∫ − ∞∞e − αt (ξ − ix2αt) 2dξ = 14παte − x0,5αt {\ displaystyle {\ begin {align} U (x, t) & = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ שמאל \ {e ^ {- \ alpha \ xi ^ {2} t} \ right \} \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- \ alpha \ xi ^ {2} t} e ^ {ix \ xi} \ mathrm {d} \ xi \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- \ alpha t \ left (\ xi ^ {2} -2 {\ frac {ix \ xi} {2 \ alpha t}} - {\ frac {x ^ {2} } {4 \ alpha ^ {2} t ^ {2}}} \ right)} e ^ {- x ^ {2} / 4 \ alpha t} \ mathrm {d} \ xi \\ & = {\ frac { 1} {2 \ pi}} e ^ {- x ^ {2} / 4 \ alpha t} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- \ alpha t \ left (\ xi - { \ frac {ix} {2 \ alpha t}} \ right) ^ {2}} \ mathrm {d} \ xi \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi \ alpha t}}} e ^ {- x ^ {2} / 4 \ alpha t} \ end {align}}}
  4. 4
    פתר עבור u (x, t) {\ displaystyle u (x, t)} תנאים ראשוניים נתונים. עכשיו שיש לנו את הפתרון הבסיסי U (x, t), {\ displaystyle U (x, t),} אנחנו יכולים לקחת את הפיתול של U (x, t) {\ displaystyle U (x, t)} עם u0 (x). {\ displaystyle u_ {0} (x).}
    • u (x, t) = u0 (x) ∗ U (x, t) = ∫ − ∞∞u0 (y) U (x − y, t) dy = 14παt∫ − 0,50.5e− (x − y) 0,5αtdy = 14παt∫ − 0,5 − x0,5 − xe− (z4αt) 2dz = 12 [erf⁡ (0,5 − x4αt) −erf⁡ (−0,5 − x4αt)] {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} u (x, t) & = u_ {0} (x) * U (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u_ {0} (y) U (xy, t) \ mathrm {d} y \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi \ alpha t}}} \ int _ {- 0,5} ^ {0,5} e ^ { - (xy) ^ {2} / 4 \ alpha t} \ mathrm {d} y \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi \ alpha t}}} \ int _ {- 0, 5-x} ^ {0,5-x} e ^ {- \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {4 \ alpha t}}} \ right) ^ {2}} \ mathrm {d} z \\ & = {\ frac {1} {2}} \ left [\ operatorname {erf} \ left ({\ frac {0,5-x} {\ sqrt {4 \ alpha t}}} \ right) - \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {-0,5-x} {\ sqrt {4 \ alpha t}}} \ right) \ right] \ end {align}}}
    • בשלב האחרון אנו משתמשים בעובדה ש- ∫e − x2dx = π2erf⁡ (x). {\ Displaystyle \ int e ^ {- x ^ {2}} \ mathrm {d} x = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ operatorname {erf} (x).}
    • עלילה של פונקציה זו לאורך זמן לעיל מראה כי "חדות" הפונקציה פוחתת עם הזמן, ובסופו של דבר נוטה לכיוון פתרון שיווי משקל. התנאים הראשוניים מתוארים בכחול, ואילו u (x, t) {\ displaystyle u (x, t)} מתווה לערכים t = 0,005, {\ displaystyle t = 0,005,} t = 0,1, {\ displaystyle t = 0,1,} ו- t = 0,3, {\ displaystyle t = 0,3,} לחלקים כתומים, ירוקים ואדומים בהתאמה.
    • אנו רואים מהגרף כי הפונקציה משופעת בצורה חדה ליד x = ± 0,5, {\ displaystyle x = \ pm 0,5,} אשר פונקציית השגיאה מטפלת בה. עם זאת, פונקציית השגיאה היא עדיין פונקציה רציפה ומתנהגת היטב, ולכן פתרון זה אינו יכול להתקיים כרגע t = 0, {\ displaystyle t = 0,} כאשר הוויכוח בתוך פונקציית השגיאה הופך ליחיד וכאשר הפונקציה מתקרבת ל רציף u0 (x) {\ displaystyle u_ {0} (x)} שהוגדר קודם.
חשב את הטרנספורמציה הארבעית של הפונקציה הגאוסית על ידי השלמת הריבוע
חשב את הטרנספורמציה הארבעית של הפונקציה הגאוסית על ידי השלמת הריבוע.

דיון

  • מתברר שהגאוסי כפי שהוגדר בשלב 6 של חלק 1 אינו הצורה הכללית ביותר. כפי שניתן לראות בתרשים, ניתן גם להזיז את הגאוסית כמה יחידות μ, {\ displaystyle \ mu,} כך ש- x2 {\ displaystyle x ^ {2}} יהפוך ל- (x − μ) 2 {\ displaystyle (x - \ mu) ^ {2}} במעריך. עם זאת, ברור שהתרגום לא משנה מתי אנו משתלבים בכל x, {\ displaystyle x,} ולכן השלמת הריבוע תוך חישוב עבודות טרנספורמציית פורייה. אף על פי כן, הצורה הכללית של הגאוס המנורמל נראית כך.
    • f (x) = 1σ2πe− (x − μ) 22σ2 {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}
קרא גם: איך מכינים משקה קריפטונייט?

קרא גם:

  1. כיצד לחשב את הטרנספורמציה של ארבעה פונקציות?
מאמרים בנושאים דומים
  1. כיצד להמיר MPG לליטרים לכל 100 ק"מ?Leo Marshall
  2. איך לגדל ילדים להיות עשירים?Leo Marshall
  3. איך להציע בפארק דיסני?Leo Marshall
  4. איך מכינים תה שמש?Leo Marshall
  5. איך מכינים משקה יונקי הדבש?Leo Marshall
  6. איך לעשות מרגל צפוני?Leo Marshall
FacebookTwitterInstagramPinterestLinkedInGoogle+YoutubeRedditDribbbleBehanceGithubCodePenWhatsappEmail