כיצד למצוא ערכים מדויקים עבור פונקציות טריגונומטריות?
הזווית אינה מצויה בדרך כלל כזווית לשינון הסינוס והקוסינוס של מעגל היחידה.
מעגל היחידה הוא מדריך מצוין לשינון ערכים טריגונומטריים נפוצים. עם זאת, לעיתים קרובות יש זוויות שאינן משומרות בדרך כלל. לכן נצטרך להשתמש בזהויות טריגונומטריות על מנת לשכתב את הביטוי במונחים של זוויות שאנו מכירים.
- במאמר זה נשתמש בזהויות הטריגונומטריות הבאות. זהויות אחרות ניתן למצוא באופן מקוון או בספרי לימוד.
- סיכום / הבדל
- cos (θ ± ϕ) = cosθcosϕ∓sinθsinϕ {\ displaystyle \ cos (\ theta \ pm \ phi) = \ cos \ theta \ cos \ phi \ mp \ sin \ theta \ sin \ phi}
- sin (θ ± ϕ) = sinθcosϕ ± cosθsinϕ {\ displaystyle \ sin (\ theta \ pm \ phi) = \ sin \ theta \ cos \ phi \ pm \ cos \ theta \ sin \ phi}
- חצי זווית
- cosθ2 = ± 1 + cosθ2 {\ displaystyle \ cos {\ frac {\ theta} {2}} = \ pm {\ sqrt {\ frac {1+ \ cos \ theta} {2}}}}
- sinθ2 = ± 1 − cosθ2 {\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta} {2}} = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ theta} {2}}}}
- 1סקור את מעגל היחידה. אם אינך חזק עם מעגל היחידה, חשוב שתשנן את הזוויות ותבין עבור מה הם רבעים סינוס, קוסינוס ומשיק חיובי ושלילי.
חלק 1 מתוך 2: דוגמה 1
- 1הערך את הדברים הבאים. הזווית π12 {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {12}}} לא נמצאת בדרך כלל כזווית לשינון הסינוס והקוסינוס של מעגל היחידה.
- cosπ12 {\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {12}}}
- 2כתוב את הביטוי במונחים של זוויות משותפות. אנו מכירים את הקוסינוס ואת הסינוס של זוויות משותפות כמו π3 {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3}}} ו- π4. {\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}.} לכן זה יהיה קל יותר להתמודד עם זוויות כאלה.
- cosπ12 = cos (π3 − π4) {\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {12}} = \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {3}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ right)}
- 3השתמש בזהות הסכום / ההבדל כדי להפריד בין הזוויות.
- cos (π3 − π4) = cosπ3cosπ4 + sinπ3sinπ4 {\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {3}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ right) = \ cos {\ frac {\ pi} {3}} \ cos {\ frac {\ pi} {4}} + \ sin {\ frac {\ pi} {3}} \ sin {\ frac { \ pi} {4}}}
- 4הערך ופשט.
- 12⋅22 + 32⋅22 = 2 + 64 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} + {\ frac {\ sqrt {3} } {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} = {\ frac {{\ sqrt {2}} + {\ sqrt {6}}} {4}}}
מעגל היחידה הוא מדריך מצוין לשינון ערכים טריגונומטריים נפוצים.
חלק 2 מתוך 2: דוגמה 2
- 1הערך את הדברים הבאים.
- sinπ8 {\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {8}}}
- 2כתוב את הביטוי במונחים של זוויות משותפות. כאן אנו מכירים בכך ש- π8 {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {8}}} הוא מחצית מ- π4. {\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}.}
- sinπ8 = sin (12⋅π4) {\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {8}} = \ sin \ left ({\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {\ pi} {4}} \ right)}
- 3השתמש בזהות חצי זוויתית.
- sin (12⋅π4) = ± 1 − cosπ42 {\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {\ pi} {4}} \ right) = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ cos {\ frac {\ pi} {4}}} {2}}}}
- 4הערך ופשט. הפלוס-מינוס בשורש הריבועי מאפשר עמימות במונחים של איזה רבע הזווית נמצאת. מכיוון ש- π8 {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {8}}} נמצא ברבע הראשון, הסינוס של זווית זו חייב להיות להיות חיובי.
- 1 − cosπ42 = 2−22 {\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {1- \ cos {\ frac {\ pi} {4}}} {2}}} = {\ frac {\ sqrt {2- {\ sqrt {2}}}} {2}}}
קרא גם: כיצד לבצע פס (מיקרוביולוגיה)?
שאלות ותשובות
- מה הערך המדויק של קוסקנט 135?אתה יכול למצוא פונקציות טריג מדויקות על ידי הקלדת (למשל) "cosecant 135 מעלות" בכל מנוע חיפוש.
- בשביל מה מייצג ASTC בטריגונומטריה?זה מייצג את הכלל "כל סינוס משיק קוסינוס". הכוונה היא להזכיר לנו שכל יחסי הטריג הם חיוביים ברבע הראשון של הגרף; רק הסינוס והקוסקאנט חיוביים ברבע השני; רק המשיק והקוטנגנס חיוביים ברבע השלישי; ורק הקוסינוס והסנט הם חיוביים ברבע הרביעי.
- כיצד אוכל למצוא את הערך המדויק של סינוס 600?600° = 60° כאשר בוחנים פונקציות טריג. [600 - (3) (180) = 60] סינוס 600° = סינוס 60° = 0,866.
