כיצד לשרטט פונקציה רציונלית?
עבור ערכים חיוביים או שליליים גדולים של x, 17 / (8x + 4) מתקרב לאפס, והגרף מקורב לקו y = (0,5) x - (1,75).
פונקציה רציונלית היא משוואה שלובשת את הצורה y = N (x) / D (x) כאשר N ו- D הם פולינומים. ניסיון לשרטט גרף מדויק של אחד ביד יכול להיות סקירה מקיפה של רבים מהנושאים החשובים ביותר במתמטיקה בתיכון, מאלגברה בסיסית וכלה בחשבון דיפרנציאלי. שקול את הדוגמה הבאה: y = (2 x 2 - 6 x + 5) / (4 x + 2).
- 1מצא את יירוט ה- y. פשוט קבעו x = 0. הכל מלבד המונחים הקבועים נעלם ומשאיר y = 2,5. ביטוי זה כצמד קואורדינטות, (0, 2,5) הוא נקודה בגרף. תרשים נקודה זו.
- 2מצא את האסימפטוטה האופקית. לחלק את המכנה לאורך זמן למונה כדי לקבוע את ההתנהגות של y לערכים מוחלטים גדולים של x. בדוגמה זו, החלוקה מראה ש y = (0,5) x - (1,75) + 17 / (8 x + 4). עבור ערכים חיוביים או שליליים גדולים של x, 17 / (8 x + 4) מתקרב לאפס, והגרף מקורב לקו y = (0,5) x - (1,75). בעזרת קו מקווקו או משורטט קלות, גרט קו זה.
- אם דרגת המונה קטנה ממידת המכנה, אין חלוקה לעשות, והאסימפטוטה היא y = 0.
- אם deg (N) = deg (D), האסימפטוטה היא קו אופקי ביחס המקדמים המובילים.
- אם deg (N) = deg (D) + 1, האסימפטוטה היא קו ששיפועו הוא היחס בין המקדמים המובילים.
- אם deg (N)> deg (D) + 1, אז לערכים גדולים של | x |, y עובר במהירות לאינסוף חיובי או שלילי כפולינום ריבועי, מעוקב או גבוה יותר. במקרה זה, כנראה שלא כדאי לשרטט במדויק את המרכיב של החלוקה.
- 3מצא את האפסים. לפונקציה רציונלית יש אפס כאשר המונה הוא אפס, אז קבעו N ( x) = 0. בדוגמה, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. ההבחנה של ריבוע זה היא b 2 - 4 ac = 6 2 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. מכיוון שהמבחן הוא שלילי, ל- N ( x), וכתוצאה מכך f ( x), אין שורשים אמיתיים. הגרף לעולם אינו חוצה אתצירה- x. אם נמצאו אפסים כלשהם, הוסף נקודות אלה לתרשים.
לפונקציה רציונלית יש אפס כאשר המונה הוא אפס, אז קבעו N (x) = 0. - 4מצא את האסימפטוטות האנכיות. אסימפטוטה אנכית מתרחשת כאשר המכנה הוא אפס. הגדרת 4 x+ 2 = 0 נותנת את הקו האנכי x= -0,5. גרף כל אסימפטוטה אנכית בקו קל או מקווקו. אם ערך כלשהו של xהופך את שניהם ל- N (x) = 0 וגם ל- D (x) = 0, ייתכן שיש שם אסימפטוטה אנכית או לא. זה נדיר, אך עיין בטיפים כיצד להתמודד איתו אם זה קורה.
- 5התבונן בשאר החלוקה בשלב 2. מתי היא חיובית, שלילית או אפסית? בדוגמה, המונה של השאר הוא 17 וזה תמיד חיובי. המכנה, 4 x + 2, חיובי מימין לאסימפטוטה האנכית ושלילי משמאל. המשמעות היא שהגרף מתקרב לאסימפטוטה הליניארית מלמעלה לערכים חיוביים גדולים של x ומלמטה לערכים שליליים גדולים של x. מכיוון ש 17 / (8 x + 4) לעולם לא יכול להיות אפס, גרף זה לעולם אינו חוצה את הקו y = (0,5) x - (1,75). אל תוסיף שום דבר לגרף כרגע, אך שים לב למסקנות אלה להמשך.
- 6מצא את הקיצונית המקומית. אקסטרים מקומי עשוי להתרחש בכל פעם ש N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. בדוגמה, N '(x) = 4 x - 6 ו- D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5) * 4 = 0. מתרחב, המשלב מונחים, ומחלק ב -4 עלים x 2 + x - 4 = 0. הנוסחה הריבועית מציגה שורשים ליד x = 1,5 ו- x = -2,5. (אלה נבדלים בערך ב -0,06 מהערכים המדויקים, אך הגרף שלנו לא יהיה מדויק מספיק בכדי לדאוג לרמת הפירוט. בחירת קירוב רציונלי ראוי מקלה על הצעד הבא).
- 7מצא את הערכים y של כל קיצוני מקומי. חבר את הערכים x מהשלב הקודם לפונקציה הרציונאלית המקורית כדי למצוא את הערכים המקבילים y. בדוגמה, f (1,5) = 16 ו- f (-2,5) = -656. הוסף נקודות אלה, (1,5, 16) ו- (-2,5, -656), לתרשים. מכיוון שקירבנו בשלב הקודם, אלה אינם המינימום והמקסימום המדויקים, אלא ככל הנראה קרובים. (אנו יודעים (1,5, 16) קרוב מאוד למינימום המקומי. משלב 3 אנו יודעים כי y הוא תמיד חיובי כאשר x > -0,5 ומצאנו ערך קטן כמו 16, כך לפחות ב במקרה זה, השגיאה היא כנראה פחות מעובי הקו.)
פונקציה רציונלית היא משוואה שלובשת את הצורה y = N (x) / D (x) כאשר N ו- D הם פולינומים. - 8חבר את הנקודות והרחיב בצורה חלקה את הגרף מהנקודות הידועות לאסימפטוטים שדואג להתקרב אליהם מהכיוון הנכון. היזהר שלא לחצות את ציר ה- x אלא בנקודות שכבר נמצאו בשלב 3. אל תחצה את האסימפטוטה האופקית או הליניארית אלא בנקודות שכבר נמצאו בשלב 5. אל תעבור משופע כלפי מעלה לשיפוע כלפי מטה למעט הקיצוניות שנמצאה בשלב הקודם.
- חלק מהצעדים הללו עשויים לכלול פתרון פולינומי ברמה גבוהה. אם אינך יכול למצוא פתרונות מדויקים באמצעות פקטוריזציה, נוסחאות או אמצעים אחרים, אז העריך את הפתרונות באמצעות טכניקות מספריות כמו שיטת ניוטון.
- אם אתה מבצע את הצעדים לפי הסדר, בדרך כלל אין צורך להשתמש במבחני נגזרת שנייה או בשיטות דומות שעלולות להיות מסובכות כדי לקבוע אם הערכים הקריטיים הם מקסימום מקומי, מינימום מקומי או אף אחד מהם. נסה להשתמש במידע מהשלבים הקודמים וקצת היגיון.
הגרף הוא פרבולה הנפתחת כלפי מעלה מערך y מינימלי של 1. - אם אתה מנסה לעשות זאת בשיטות קדם חישוביות בלבד, באפשרותך להחליף את השלבים למציאת הקצנה המקומית על ידי חישוב כמה זוגות מסודרים נוספים (x, y) בין כל זוג אסימפטוטות. לחלופין, אם לא אכפת לך מדוע זה עובד, אין שום סיבה שתלמיד טרום חישוב לא יכול לקחת את הנגזרת של פולינום ולפתור את N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
- במקרים נדירים, למונה ולמכנה יכול להיות גורם לא קבוע משותף. אם אתה מבצע את השלבים, זה יופיע כאפס ואסימפטוטה אנכית באותו מקום. זה בלתי אפשרי ומה שקורה בפועל הוא אחד מהדברים הבאים:
- לאפס ב- N (x) יש ריבוי גבוה יותר מאשר לאפס ב- D (x). הגרף של f (x) מתקרב לאפס בנקודה זו, אך אינו מוגדר שם. ציין זאת במעגל פתוח סביב הנקודה.
- לאפס ב- N (x) ולאפס ב- D (x) יש ריבוי שווה. הגרף מתקרב לנקודה שאינה אפסית לערך זה של x, אך אינו מוגדר שם. שוב ציין זאת במעגל פתוח.
- לאפס ב- N (x) יש ריבוי נמוך יותר מהאפס ב- D (x). יש כאן אסימפטוטה אנכית.
קרא גם: איך לצייר אגרטל?
שאלות ותשובות
- האם אנחנו לא מתישהו לוקחים את הגבול של הפונקציה? אם לא, באיזה סוג של פונקציה נוכל לעשות זאת?הצעד לגבי אסימפטוטות אופקיות מוצא את הגבול כאשר x הולך ל- + ו- - אינסוף. אתה יכול גם לקחת מגבלות חד צדדיות בכל אסימפטוטה אנכית כדי לראות אם הגרף מתקרב + inf או -inf מכל צד.
- כיצד אוכל ליצור גרף ללא יירוט x?זה יהיה גרף של פונקציה שבה y לעולם אינו שווה לאפס. דוגמא היא y = x² + 1. אין ערך x שעבורו ערך ה- y המקביל הוא אפס. הגרף הוא פרבולה הנפתחת כלפי מעלה מערך y מינימלי של 1.
