כיצד לשרטט פרבולה?
לרישום פרבולה, השתמש בערכי המקדם a והמקדם b מהמשוואה הפרבולית שלך בנוסחה x = -b ÷ 2a כדי לפתור את x, שהוא התאם הראשון של קודקוד. לאחר מכן, חבר את x בחזרה למשוואה שלך כדי לפתור את y, שהיא הקואורדינטה השנייה של קודקוד. לאחר מכן תוכל ליצור טבלה באמצעות ערכים שונים עבור x וחישוב y במשוואה שלך כדי לקבל קבוצה של קואורדינטות. תכנן את הקואורדינטות הללו על מטוס וצייר את הפרבולה שלך! כדי ללמוד כיצד לשנות את הגרף של הפרבולה שלך, המשך לקרוא!
הנקודה בה ציר הסימטריה חוצה את הפרבולה נקראת קודקוד הפרבולה.
פרבולה היא עקומה דו-ממדית, מראה-סימטרית, המעוצבת כקשת. כל נקודה בפרבולה נמצאת במרחק שווה מנקודה קבועה (המוקד) וקו ישר קבוע (ה- directrix). על מנת לשרטט פרבולה, עליך למצוא את קודקוד שלה וכן מספר נקודות משני צידי קודקוד על מנת לסמן את הנתיב בו עוברות הנקודות.
חלק 1 מתוך 2: גרף פרבולה
- 1הבן את חלקי הפרבולה. יתכן שיינתן לך מידע מסוים לפני ההתחלה, וידע המינוח יעזור לך להימנע מכל צעד מיותר. להלן חלקי הפרבולה שתצטרך לדעת:
- הפוקוס. נקודה קבועה בחלק הפנימי של הפרבולה המשמשת להגדרה פורמלית של העקומה.
- Directrix. קו קבוע וישר. פרבולה הוא הלוקוס (סדרה) של נקודות בהן בכל רגע נתון הוא המרחק שווה מן המוקד ואת המנחה. (ראה תרשים לעיל.)
- ציר הסימטריה. זהו קו ישר שעובר דרך נקודת המפנה ("קודקוד") של הפרבולה והוא נמצא במרחק שווה מנקודות מקבילות בשתי זרועות הפרבולה.
- קודקוד. הנקודה בה ציר הסימטריה חוצה את הפרבולה נקראת קודקוד הפרבולה. אם הפרבולה נפתחת כלפי מעלה או ימינה, הקודקוד הוא נקודת המינימום של העקומה. אם הוא נפתח כלפי מטה או שמאלה, הקודקוד הוא נקודה מקסימאלית.
- 2דע את המשוואה של פרבולה. המשוואה הכללית של פרבולה היא y = ax 2 + bx + c. ניתן לכתוב זאת בצורה כללית עוד יותר y = a (x - h) ² + k, אך נתמקד כאן בצורה הראשונה של המשוואה.
- אם המקדם a במשוואה הוא חיובי, הפרבולה נפתחת כלפי מעלה (בפרבולה המכוונת אנכית), כמו האות "U", וקודקודה שלה היא נקודת מינימום. אם ה- a שלילי, הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה קודקוד בנקודה המרבית. אם יש לך בעיה לזכור זה, לחשוב על זה ככה: משוואה עם חיובית המראה ערך כמו חיוך; משוואה עם שלילי ערך נראה כאילו בזעף.
- נניח שיש לך את המשוואה הבאה: y = 2x 2 -1. פרבולה זו תהיה בצורת "U" מכיוון שהערך a (2) חיובי.
- אם למשוואה יש מונח y בריבוע במקום מונח x בריבוע, הפרבולה תהיה מכוונת אופקית ופתוחה לרוחב, ימינה או שמאלה, כמו "C" או "C." לאחור. לדוגמא, הפרבולה y 2 = x + 3 נפתחת ימינה, כמו "C."
- 3מצא את ציר הסימטריה. זכרו כי ציר הסימטריה הוא הקו הישר העובר דרך נקודת המפנה (קודקוד) של הפרבולה. במקרה של פרבולה אנכית (נפתחת למעלה או למטה), הציר זהה לקואורדינטציה x של קודקוד, שהוא ערך ה- x של הנקודה בה ציר הסימטריה חוצה את הפרבולה. כדי למצוא את ציר הסימטריה, השתמש בנוסחה הבאה: x = -b / 2a.
- בדוגמה שלעיל (y = 2x² -1), a = 2 ו- b = 0. כעת תוכלו לחשב את ציר הסימטריה על ידי חיבור המספרים: x = -0 / (2) (2) = 0.
- במקרה זה ציר הסימטריה הוא x = 0 (שהוא ציר ה- y של מישור הקואורדינטות).
המשוואה הכללית של פרבולה היא y = ax2 + bx + c. - 4מצא את קודקוד. ברגע שאתה יודע את ציר הסימטריה, אתה יכול לחבר ערך זה ל- x כדי לקבל את הקואורדינטה y. שני הקואורדינטות הללו יתנו לך את קודקוד הפרבולה. במקרה זה, תחבר 0 ל- 2x 2 -1 כדי לקבל את התאם y. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. הקודקוד הוא (0, -1), והפרבולה חוצה את ציר ה- y ב- -1.
- הקואורדינטות של הקודקוד מכונות לפעמים (h, k). במקרה זה h הוא 0, ו- k הוא -1. את המשוואה לפרבולה ניתן לכתוב בצורה y = a (x - h) ² + k. בצורה זו הקודקוד הוא הנקודה (h, k), ואינך צריך לעשות שום מתמטיקה כדי למצוא את קודקוד מעבר לפרשנות נכונה של הגרף.
- 5הגדר טבלה עם הערכים שנבחרו של x. צור טבלה עם ערכים מסוימים של x בעמודה הראשונה. טבלה זו תתן לך את הקואורדינטות הדרושות לך לשרטוט המשוואה.
- הערך האמצעי של x צריך להיות ציר הסימטריה במקרה של פרבולה "אנכית".
- עליך לכלול לפחות שני ערכים מעל ומתחת לערך האמצעי עבור x בטבלה לצורך סימטריה.
- בדוגמה זו שים את ערך ציר הסימטריה (x = 0) באמצע הטבלה.
- 6חשב את הערכים של קואורדינטות ה- Y המתאימות. החלף כל ערך של x במשוואת הפרבולה, וחשב את הערכים המקבילים של y. הכנס לטבלה את הערכים המחושבים של y. בדוגמה זו, הערכים של y מחושבים כדלקמן:
- עבור x = -2, y מחושב כ: y = (2) (-2) 2 - 1 = 8 - 1 = 7
- עבור x = -1, y מחושב כ: y = (2) (-1) 2 - 1 = 2 - 1 = 1
- עבור x = 0, y מחושב כ: y = (2) (0) 2 - 1 = 0 - 1 = -1
- עבור x = 1, y מחושב כ: y = (2) (1) 2 - 1 = 2 - 1 = 1
- עבור x = 2, y מחושב כ: y = (2) (2) 2 - 1 = 8 - 1 = 7
- 7הכנס את הערכים המחושבים של y לטבלה. עכשיו כשמצאתם לפחות חמישה זוגות קואורדינטות לפרבולה, אתם כמעט מוכנים לשרטט אותה. בהתבסס על העבודה שלך, יש לך כעת את הנקודות הבאות: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). זכרו שהפרבולה משתקפת (סימטרית) ביחס לציר הסימטריה. המשמעות היא שקואורדינטות y של נקודות ישירות על פני ציר הסימטריה זה מזה יהיו זהות. קואורדינטות y עבור x- קואורדינטות -2 ו- +2 הן 7; קואורדינטות y עבור x- קואורדינטות -1 ו- +1 הן 1 וכן הלאה.
את המשוואה לפרבולה ניתן לכתוב בצורה y = a (x - h) ² + k. - 8התווה את נקודות הטבלה במישור הקואורדינטות. כל שורה בטבלה יוצרת צמד קואורדינטות (x, y) במישור הקואורדינטות. גרף את כל הנקודות באמצעות הקואורדינטות המופיעות בטבלה.
- ציר ה- X הוא אופקי; ציר ה- y הוא אנכי.
- המספרים החיוביים בציר ה- y הם מעל הנקודה (0, 0), והמספרים השליליים בציר ה- y נמצאים מתחת לנקודה (0, 0).
- המספרים החיוביים בציר ה- x נמצאים מימין לנקודה (0, 0), והמספרים השליליים בציר ה- X הם משמאל לנקודה (0, 0).
- 9חבר את הנקודות. כדי לשרטט את הפרבולה, חבר את הנקודות שתוכננו בשלב הקודם. הגרף בדוגמא זו ייראה Connect U. נקודות באמצעות מעוקל מעט (ולא ישר) קווים. זה ייצור את התמונה המדויקת ביותר של הפרבולה (שהיא לפחות מעוקלת לכל אורכה). בשני קצוות הפרבולה ניתן לצייר חצים המפנים מהקודקוד אם תרצו. זה יצביע על כך שהפרבולה נמשכת ללא הגבלת זמן.
חלק 2 מתוך 2: הסטת הגרף של פרבולה
אם אתה רוצה קיצור דרך להזזת פרבולה מבלי שתצטרך למצוא שוב את קודקודתה ולתכנן עליה מחדש כמה נקודות, תצטרך להבין כיצד לקרוא את משוואת הפרבולה וללמוד להזיז אותה אנכית או אופקית. התחל בפרבולה הבסיסית: y = x 2. לקודקוד זה (0, 0) ונפתח כלפי מעלה. הנקודות עליו כוללות (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) ו- (2, 4). אתה יכול להזיז פרבולה על בסיס המשוואה שלה.
- 1העבר פרבולה כלפי מעלה. שקול את המשוואה y = x 2 +1. זה מעביר את הפרבולה המקורית כלפי מעלה יחידה אחת. קודקודו הוא כעת (0, 1) במקום (0, 0). זה ישמור על הצורה המדויקת של הפרבולה המקורית, אך כל קואורדינטות y יועברו כלפי מעלה ליחידה אחת. אז במקום (-1, 1) ו- (1, 1), אנו מתווים (-1, 2) ו- (1, 2).
זכרו שציר הסימטריה הוא הקו הישר שעובר דרך נקודת המפנה (קודקוד) של הפרבולה. - 2העבר פרבולה כלפי מטה. קח את המשוואה y = x 2 -1. אנו מעבירים את הפרבולה המקורית מטה יחידה אחת כלפי מטה, כך שהקודקוד הוא כעת (0, -1) במקום (0, 0). עדיין תהיה לה אותה צורה של הפרבולה המקורית, אך כל קואורדינטות y יוסטו מטה יחידה אחת. אז במקום (-1, 1) ו- (1, 1), למשל, אנו מתווים (-1, 0) ו- (1, 0).
- 3העבר פרבולה שמאלה. שקול את המשוואה y = (x + 1) 2. זה מעביר את הפרבולה המקורית יחידה אחת שמאלה. קודקודו הוא כעת (-1, 0) במקום (0, 0). היא שומרת על צורת הפרבולה המקורית, אך כל קואורדינטות x מועברות ליחידה אחת משמאל. במקום (-1, 1) ו- (1, 1), למשל, אנו משרטטים (-2, 1) ו- (0, 1).
- 4הסט פרבולה ימינה. שקול את המשוואה y = (x - 1) 2. זו הפרבולה המקורית שהעבירה יחידה אחת ימינה. קודקודו הוא כעת (1, 0) במקום (0, 0). היא שומרת על צורת הפרבולה המקורית, אך כל קואורדינטות x יועברו ליחידה אחת נכונה. במקום (-1, 1) ו- (1, 1), למשל, אנו משרטטים (0, 1) ו- (2, 1).
קרא גם: איך מציירים דלי?
שאלות ותשובות
- אם ציר הסימטריה הוא משהו אחר מלבד 0, איך מכינים את הטבלה?ציר הסימטריה לא צריך להיות 0 כדי שתוכלו ליצור טבלה. כדי ליצור טבלה, פשוט בחר ערך עבור x, כגון 0, וחבר אותו למשוואה המקורית כדי לפתור את y. רשום את הערך של y, וזה נותן לך נקודה לשימוש בעת גרף הפרבולה.
- איך אני מצייר גרף עם הפונקציה f (x) = -4x ^ 2 + 32?זה לא שונה מכל פרבולה אחרת. הכינו טבלת שתי עמודות. בחר ערכים נוחים עבור x. חשב את הערכים המתאימים ל- y או f (x). התווה את נקודות הערך הזוגיות ברשת. חבר את הנקודות.
- איך בעצם מצייר את הפרבולה?שרטט קו חלק בין הנקודות שרשמת. זכור את צורת ה- U של הפרבולה. שים חצים בקצוות.
- כיצד אוכל למצוא את הנוסחה לפרבולה נתונה?לא ניתן פשוט לראות פרבולה ולהסיק את משוואתה. אם "נותנים" פרבולה, זה מרמז על המשוואה שלה.
