כיצד ניתן לדעת אם פונקציה שווה או מוזרה?

פונקציה זוגית היא כאשר f (x) = f (-x) ופונקציה מוזרה היא כאשר המשפט האמור אינו נכון.

אחת הדרכים לסווג פונקציות היא כ"אחיד "," מוזר "או לא אחת מהן. מונחים אלה מתייחסים לחזרה או לסימטריה של הפונקציה. הדרך הטובה ביותר לדעת היא לתפעל את הפונקציה באופן אלגברי. ניתן גם להציג את גרף הפונקציה ולחפש סימטריה. לאחר שתדע כיצד לסווג פונקציות, תוכל לחזות את הופעתן של שילובי פונקציות מסוימים.

שיטה 1 מתוך 2: בדיקת הפונקציה באופן אלגברי

1
סקור משתנים מנוגדים. באלגברה, ההפך ממשתנה כתוב כשלילי. זה נכון בין אם המשתנה בפונקציה הוא x {\ displaystyle x} $איקס$ או כל דבר אחר. אם המשתנה בפונקציה המקורית כבר מופיע כשלילי (או חיסור), ההפך ממנו יהיה חיובי (או חיבור). להלן דוגמאות לכמה משתנים וההפכים שלהם:
- ההפך מ- $איקס$ הוא $-איקס$
- ההפך מ- $ש$ הוא $-q$
- ההפך מ- $-w$ הוא $W$ .
2
החלף כל משתנה בפונקציה בהפך. אל תשנה את הפונקציה המקורית מלבד סימן המשתנה. לדוגמה:
- $F (x) = 4x ^ {2} -7$ הופך ל- $F (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7$
- $G (x) = 5x ^ {5} -2x$ הופך ל- $G (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)$
- $H (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3$ הופך ל- $H (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3$ .
על מנת לדעת אם פונקציה שווה או אי זוגית, החלף את כל המשתנים במשוואה בהפך.
3
לפשט את הפונקציה החדשה. בשלב זה אינך עוסק בפתרון הפונקציה עבור ערך מספרי מסוים כלשהו. אתה פשוט רוצה לפשט את המשתנים כדי להשוות את הפונקציה החדשה, f (-x), עם הפונקציה המקורית, f (x). זכור את הכללים הבסיסיים של מעריכים האומרים כי בסיס שלילי המועלה לכוח אחיד יהיה חיובי, ואילו בסיס שלילי המועלה לכוח מוזר יהיה שלילי.
- f (−x) = 4 (−x) 2−7 {\ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7} $F (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7$
  - $F (-x) = 4x ^ {2} -7$
- g (−x) = 5 (−x) 5−2 (−x) {\ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)} $G (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)$
  - $G (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x$
  - $G (-x) = - 5x ^ {5} + 2x$
- h (−x) = 7 (−x) 2 + 5 (−x) +3 {\ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3} $H (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3$
  - $H (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3$
4
השווה בין שתי הפונקציות. בכל דוגמה שאתה בודק, השווה את הגרסה הפשוטה של f (-x) לבין f (x) המקורי. התאם את המונחים זה עם זה להשוואה קלה, והשווה את הסימנים של כל המונחים.
- אם שתי התוצאות זהות, אז f (x) = f (-x), והפונקציה המקורית היא אחידה. דוגמה היא:
  - $F (x) = 4x ^ {2} -7$ ו- $F (-x) = 4x ^ {2} -7$ .
  - שני אלה זהים, כך שהפונקציה אחידה.
- אם כל מונח בגרסה החדשה של הפונקציה מנוגד למונח המקביל למקור, אז f (x) = - f (-x), והפונקציה מוזרה. לדוגמה:
  - $G (x) = 5x ^ {5} -2x$ אבל $G (-x) = - 5x ^ {5} + 2x$ .
  - שים לב שאם תכפיל כל מונח של הפונקציה הראשונה ב- -1, תיצור את הפונקציה השנייה. לפיכך, הפונקציה המקורית g (x) היא אי-זוגית.
- אם הפונקציה החדשה לא עומדת באף אחת משתי הדוגמאות הללו, היא לא אחידה ואינה מוזרה. לדוגמה:
  - $H (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3$ אבל $H (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3$ . המונח הראשון זהה בכל פונקציה, אך המונח השני הוא הפוך. לכן, פונקציה זו אינה שווה ואינה מוזרה.

שיטה 2 מתוך 2: בדיקת הפונקציה בצורה גרפית

1
גרף את הפונקציה. בעזרת נייר גרף או מחשבון גרפים, ציירו את גרף הפונקציה. בחר מספר ערכים מספריים עבור x {\ displaystyle x} $איקס$ והכנס אותם לפונקציה כדי לחשב את הערך y {\ displaystyle y} $י$ שהתקבל. התווה את הנקודות הללו בתרשים ולאחר שתכננת מספר נקודות חבר אותן כדי לראות את גרף הפונקציה.
- כאשר מתכננים נקודות, בדוק ערכים שליליים חיוביים ומתאימים עבור x {\ displaystyle x} $איקס$ . לדוגמה, אם עובדים עם הפונקציה f (x) = 2x2 + 1 {\ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1} $F (x) = 2x ^ {2} +1$ , התווה את הערכים הבאים:
  - $F (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3$ . זה נותן את הנקודה $(13)$ .
  - $F (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9$ . זה נותן את הנקודה $(29)$ .
  - $F (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3$ . זה נותן את הנקודה $(-13)$ .
  - $F (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9$ . זה נותן את הנקודה $(-29)$ .
אם כל מונח בגרסה החדשה מנוגד למונח המקביל למקור, הפונקציה מוזרה.
2
בדוק סימטריה על פני ציר ה- y. כאשר מסתכלים על פונקציה, סימטריה מציעה תמונת מראה. אם אתה רואה שחלק הגרף בצד ימין (חיובי) של ציר y תואם את חלק הגרף בצד שמאל (שלילי) בציר y, הגרף סימטרי על פני ציר y. אם פונקציה סימטרית על פני ציר ה- y, אז הפונקציה היא אחידה.
- אתה יכול לבדוק סימטריה על ידי בחירת נקודות בודדות. אם ערך y עבור x שנבחר זהה לערך y עבור -x, אז הפונקציה היא אחידה. הנקודות שנבחרו לעיל לתכנון f (x) = 2x2 + 1 {\ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1} $F (x) = 2x ^ {2} +1$ נתנו את התוצאות הבאות:
  - (13) ו- (-13)
  - (29) ו- (-29).
- ערכי y התואמים ל- x = 1 ו- x = -1 ול- x = 2 ו- x = -2 מצביעים על כך שזו פונקציה אחידה. למבחן אמיתי, בחירת שתי נקודות איננה הוכחה מספקת, אך זוהי אינדיקציה טובה.
3
מבחן לסימטריית מקור. המקור הוא הנקודה המרכזית (00). סימטריית מקור פירושה שתוצאה חיובית עבור ערך x שנבחר תתאים לתוצאה שלילית עבור -x, ולהיפך. פונקציות מוזרות מציגות סימטריית מקור.
- אם תבחר כמה ערכי דוגמה עבור x וערכי ה- x ההפוכים שלהם, אתה אמור לקבל תוצאות הפוכות. שקול את הפונקציה f (x) = x3 + x {\ displaystyle f (x) = x ^ {3} + x} $F (x) = x ^ {3} + x$ . פונקציה זו תספק את הנקודות הבאות:
  - $F (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2$ . העניין הוא (12).
  - $F (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) = - 1-1 = -2$ . הנקודה היא (-1, -2).
  - $F (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10$ . העניין הוא (210).
  - $F (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) = - 8-2 = -10$ . הנקודה היא (-2, -10).
- לפיכך, f (x) = - f (-x), ואתה יכול להסיק שהפונקציה מוזרה.
4
חפש שום סימטריה. הדוגמה האחרונה היא פונקציה שאין לה סימטריה מצד לצד. אם אתה מסתכל על הגרף, זה לא יהיה תמונת מראה לא מעבר לציר y ולא סביב המקור. שקול את הפונקציה f (x) = x2 + 2x + 1 {\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1} $F (x) = x ^ {2} + 2x + 1$ .
- בחר כמה ערכים עבור x ו- -x, כדלקמן:
  - $F (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$ . הנקודה לעלילה היא (14).
  - $F (-1) = (- 1) ^ {2} +2 (-1) + (- 1) = 1-2-1 = -2$ . הנקודה לעלילה היא (-1, -2).
  - $F (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10$ . הנקודה לעלילה היא (210).
  - $F (-2) = (- 2) ^ {2} +2 (-2) + (- 2) = 4-4-2 = -2$ . הנקודה לעלילה היא (2, -2).
- אלה אמורים לתת לך מספיק נקודות כבר כדי לציין שאין סימטריה. ערכי ה- y עבור זוגות מנוגדים של ערכי ה- x אינם זהים וגם אינם הפכים. פונקציה זו אינה שווה ואינה מוזרה.
- אתה עשוי לזהות שניתן לשכתב את הפונקציה הזו, $F (x) = x ^ {2} + 2x + 1$ , כ- $F (x) = (x + 1) ^ {2}$ . כתוב בצורה זו, נראה כי מדובר בפונקציה שווה מכיוון שיש רק אקספוננט אחד, וזה מספר זוגי. עם זאת, מדגם זה ממחיש כי אינך יכול לקבוע אם פונקציה שווה או מוזרה כאשר היא נכתבת בצורה סוגרית. עליכם להרחיב את הפונקציה למונחים בודדים ואז לבחון את המעריכים.