כיצד למצוא את טווח הפונקציה?
כדי למצוא את טווח הפונקציה במתמטיקה, רשום תחילה את הנוסחה שאתה עובד איתה. ואז, אם אתה עובד עם פרבולה או כל משוואה שבה קואורדינטה x מרובעת או מורמת לכוח אחיד, השתמש בנוסחה -b חלקי 2a כדי לקבל את קואורדינטות ה- x ואז ה- y. אתה יכול לדלג על שלב זה אם אתה עובד עם קו ישר או כל פונקציה עם פולינום של מספר אי זוגי. לאחר מכן, חבר כמה קואורדינטות X אחרות ופתור את קואורדינטות ה- y שלהן. לסיום, התווה את הנקודות האלה בגרף כדי לראות את טווח הפונקציה שלך. למידע נוסף על מציאת טווח הפונקציה, כולל ליחס ובבעיית מילים, גלול מטה!
המשמעות היא שטווח הפונקציה, או טווח הקואורדינטות y, נע בין -3 ל -10.
שיטה 1 מתוך 4: מציאת טווח הפונקציה שקיבלה נוסחה
- 1רשמו את הנוסחה. נניח שהנוסחה שאיתה אתה עובד היא הבאה: f (x) = 3x 2 + 6x -2. פירוש הדבר שכאשר אתה מציב x כלשהו למשוואה, תקבל את ערך y שלך. זה הפונקציה של פרבולה.
- 2מצא את קודקוד הפונקציה אם היא ריבועית. אם אתה עובד עם קו ישר או עם כל פונקציה עם פולינום של מספר אי זוגי, כגון f (x) = 6x 3 + 2x + 7, אתה יכול לדלג על שלב זה. אבל אם אתה עובד עם הפרבולה, או כל משוואה שבה X-הקואורדינטות בריבוע או העלה בפני אף כוח, תצטרך לתכנן את הקודקוד. לשם כך, פשוט השתמש בנוסחה -b / 2a כדי לקבל את הקואורדינטה x של הפונקציה 3x 2 + 6x -2, כאשר 3 = a, 6 = b ו- -2 = c. במקרה זה -b הוא -6, ו- 2a הוא 6, כך שקואורדינטת ה- x היא -1, או -1.
- כעת, חבר -1 לפונקציה כדי לקבל את התאם y. f (-1) = 3 (-1) 2 + 6 (-1) -2 = 3 - 6 -2 = -5.
- קודקוד הוא (-1, -5). גרף אותו על ידי ציור נקודה שבה הקואורדינטה x היא -1 ושם הקואורדינטה y היא -5. זה צריך להיות ברבע השלישי של הגרף.
- 3מצא עוד כמה נקודות בפונקציה. כדי להבין את הפונקציה, עליך לחבר כמה קואורדינטות x אחרות כדי שתוכל להבין כיצד נראית הפונקציה לפני שתתחיל לחפש את הטווח. מכיוון שזו פרבולה וקואורדינטות x 2 חיוביות, היא תפנה כלפי מעלה. אבל רק כדי לכסות את הבסיסים שלך, בוא נחבר כמה קואורדינטות x כדי לראות אילו קואורדינטות הם מניבים:
- f (-2) = 3 (-2) 2 + 6 (-2) -2 = -2. נקודה אחת בגרף היא (-2, -2)
- f (0) = 3 (0) 2 + 6 (0) -2 = -2. נקודה נוספת בגרף היא (0, -2)
- f (1) = 3 (1) 2 + 6 (1) -2 = 7. נקודה שלישית בגרף היא (1, 7).
- 4מצא את הטווח בגרף. כעת, הסתכלו בקואורדינטות y בגרף ומצאו את הנקודה הנמוכה ביותר בה הגרף נוגע בקואורדינטה y. במקרה זה, קואורדינטת ה- y הנמוכה ביותר נמצאת בקודקוד, -5, והגרף משתרע לאין ערוך מעל נקודה זו. המשמעות היא שטווח הפונקציה הוא y = כל המספרים האמיתיים ≥ -5.
טווח הפונקציה הוא קבוצת המספרים שהפונקציה יכולה לייצר.
שיטה 2 מתוך 4: מציאת טווח הפונקציה בגרף
- 1מצא את המינימום של הפונקציה. חפש את קואורדינטת ה- y הנמוכה ביותר של הפונקציה. נניח שהפונקציה מגיעה לנקודה הנמוכה ביותר -3. פונקציה זו יכולה גם להיות קטנה יותר ויותר לאין ערוך, כך שאין לה את הנקודה הנמוכה ביותר שנקבעה - רק אינסוף.
- 2מצא את המקסימום של הפונקציה. נניח שקואורדינטת ה- y הגבוהה ביותר אליה מגיעה הפונקציה היא 10. פונקציה זו יכולה גם להיות גדולה וגדולה לאין ערוך, כך שאין לה נקודה גבוהה ביותר שנקבעה - רק אינסוף.
- 3ציין את הטווח. משמעות הדבר היא שטווח הפונקציה, או טווח הקואורדינטות y, נע בין -3 ל 10. אז, -3 ≤ f (x) ≤ 10. זהו טווח הפונקציה.
- אבל נניח שהגרף מגיע לנקודה הנמוכה ביותר ב- y = -3, אך עולה למעלה לנצח. ואז הטווח הוא f (x) ≥ -3 וזהו.
- בואו נגיד שהגרף מגיע לנקודה הגבוהה ביותר שלו ב -10 אבל יורד מטה לנצח. ואז הטווח הוא f (x) ≤ 10.
כל פונקציה החוזרת על עצמה על ציר ה- x תהיה באותו טווח לכל הפונקציה.
שיטה 3 מתוך 4: מציאת טווח הפונקציה של יחס
- 1כתוב את היחס. יחס הוא קבוצה של זוגות מסודרים עם קואורדינטות x ו- y. אתה יכול להסתכל על קשר ולקבוע את התחום והטווח שלו. נניח שאתה עובד עם היחס הבא: {(2, -3), (4, 6), (3, -1), (6, 6), (2, 3)}.
- 2רשום את קואורדינטות ה- y של הקשר. כדי למצוא את טווח היחס, פשוט רשום את כל קואורדינטות y של כל זוג מסודר: {-3, 6, -1, 6, 3}.
- 3הסר כל קואורדינטות כפולות כך שיהיה לך רק אחד מכל קואורדינטות y. תוכלו להבחין שרשמתם "6" פעמיים. הוצא את זה כך שתישאר עם {-3, -1, 6, 3}.
- 4כתוב את טווח הקשר בסדר עולה. עכשיו, סדר מחדש את המספרים בערכה כך שתעבור מהקטן לגדול ביותר, ויש לך את הטווח שלך. טווח היחס {(2, -3), (4, 6), (3, -1), (6, 6), (2, 3)} הוא {-3, -1, 3, 6}. סיימתם.
- 5ודא שהקשר הוא פונקציה. כדי שיחס יהיה פונקציה, בכל פעם שאתה מכניס מספר אחד של קואורדינטה x, הקואורדינטה y צריכה להיות זהה. לדוגמה, היחס {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} אינו פונקציה, מכיוון שכאשר מכניסים 2 כ- x בפעם הראשונה, יש לך 3, אך בפעם השנייה אתה הכניסו 2, יש לכם ארבע. כדי שיחס יהיה פונקציה, אם אתה מכניס את אותה קלט, אתה תמיד צריך לקבל את אותה הפלט. אם אתה מכניס a -7, אתה צריך לקבל את אותו קואורדינטות y (יהיה אשר יהיה) בכל פעם.
שיטה 4 מתוך 4: מציאת טווח הפונקציה בבעיית מילים
- 1קרא את הבעיה. נניח שאתה עובד עם הבעיה הבאה: "בקי מוכרת כרטיסים למופע הכישרונות של בית הספר שלה תמורת 5 דולר כל אחד. סכום הכסף שהיא אוספת הוא פונקציה של כמה כרטיסים שהיא מוכרת. מה טווח הפונקציה?"
- 2כתוב את הבעיה כפונקציה. במקרה זה, M מייצגת את סכום הכסף שהיא אוספת, ו- t מייצג את כמות הכרטיסים שהיא מוכרת. עם זאת, מכיוון שכל כרטיס יעלה 5 דולר, יהיה עליכם להכפיל את כמות הכרטיסים הנמכרת ב -5 כדי למצוא את סכום הכסף. לכן ניתן לכתוב את הפונקציה כ- M (t) = 5t.
- לדוגמא, אם היא תמכור 2 כרטיסים, תצטרך להכפיל 2 ב -5 כדי לקבל 10, סכום הדולרים שהיא תקבל.
- 3קבעו את התחום. כדי לקבוע את הטווח, תחילה עליך למצוא את התחום. התחום הוא כל הערכים האפשריים של t הפועלים במשוואה. במקרה זה, בקי יכולה למכור 0 כרטיסים או יותר - היא לא יכולה למכור כרטיסים שליליים. מכיוון שאיננו יודעים את מספר המושבים באודיטוריום בבית הספר שלה, אנו יכולים להניח שהיא יכולה למכור תיאורטית אינסוף כרטיסים. והיא יכולה למכור רק כרטיסים שלמים; היא לא יכולה למכור 0,5 מכרטיס, למשל. לכן תחום הפונקציה הוא t = כל מספר שלם שאינו שלילי.
- 4קבע את הטווח. הטווח הוא סכום הכסף האפשרי שבקי יכולה להרוויח ממכירתה. אתה צריך לעבוד עם התחום כדי למצוא את הטווח. אם אתה יודע שהתחום הוא כל מספר שלם שאינו שלילי ושהנוסחה היא M (t) = 5t, אז אתה יודע שתוכל לחבר כל מספר שלם שאינו שלילי לפונקציה זו כדי לקבל את הפלט, או את הטווח. לדוגמא, אם היא מוכרת 5 כרטיסים, אז M (5) = 5 x 5, או 25 דולר. אם היא מוכרת 100, אז M (100) = 5 x 100, או 500 דולר. לכן, טווח הפונקציה הוא כל מספר שלם שאינו שלילי שהוא מכפיל של חמישה.
- כלומר, כל מספר שלם שאינו שלילי שהוא מכפיל של חמש הוא פלט אפשרי עבור קלט הפונקציה.
למידע נוסף על מציאת טווח הפונקציה, כולל ליחס ובבעיית מילים, גלול מטה!
- במקרים קשים יותר, ייתכן שיהיה קל יותר לצייר תחילה את הגרף באמצעות הדומיין (אם אפשר) ואז לקבוע את הטווח בצורה גרפית.
- בדוק אם אתה יכול למצוא את הפונקציה ההפוכה. תחום הפונקציה ההפוכה של פונקציה שווה לטווח הפונקציה.
- בדוק אם הפונקציה חוזרת. כל פונקציה החוזרת על עצמה על ציר ה- x תהיה באותו טווח לכל הפונקציה. למשל, f (x) = sin (x) טווח שבין -1 ל -1.
קרא גם: איך לספור בינארי?
שאלות ותשובות
- כיצד אוכל למצוא את טווח הפרבולה כשהוא מחוץ לציר x או y (למשל x = 3)?התחל על ידי מציאת קודקוד. אם הפרבולה היא הצורה a (xh) ^ 2 + k, אז (h, k) הוא קודקוד. אם זה לא נמצא בצורה זו אלא ב- ax ^ 2 + bx + c, אז קבל את זה בצורה הסטנדרטית או גרף אותו. מהקודקוד, אם הפרבולה נפתחת, אז הטווח יהיה (k, אינסוף) ואם הוא נפתח למטה הטווח יהיה (-אינסוף, k).
- הפונקציה ניתנת ש- g (x) = x2-5x + 9. כיצד אוכל למצוא את הערכים של x, בעלי תמונה של 15?במילים פשוטות g (x) = 15, תקבלו 2 ערכים של 'x' העונים על המשוואה הריבועית הנתונה. הערכים האלה הם התשובה שלך.
- מהו הטווח של y = -4 * -3 כאשר התחום הוא (-10,2)?החלף את האלמנטים בתחום ל- x. הערכים של y שאתה מקבל הם מרכיבי הטווח.
- כיצד אוכל למצוא טווח של פונקציה תוך שימוש במגבלות?אם לפונקציה אין מקסימום (או מינימום), ייתכן שיהיה עליך להעריך מגבלה כדי למצוא את הטווח שלה. לדוגמא, ל- f (x) = 2 ^ x אין מינימום אך הגבול כאשר x מתקרב לאינסוף הוא 0, והגבול כ- x מתקרב לאינסוף חיובי הוא אינסוף. אז הטווח הוא (0, אינסוף) תוך שימוש במרווחים פתוחים מכיוון שאף גבול אינו מושג אי פעם, רק התקרב אליו.
- כיצד אוכל למצוא את טווח המשוואה?זהה למציאת טווח הפונקציה, כפי שמוצג לעיל. (מאמר זה מתייחס למשוואות כאל "פונקציות").
- מהו מושג AM = GM למציאת טווח?הכוונה היא לאי-השוויון הממוצע האריתמטי (AM) - הממוצע הגיאומטרי (GM), הקובע כי עבור מספרים חיוביים, ה- AM תמיד גדול לפחות כמו ה- GM. במקרים מסוימים ניתן להשתמש בזה למציאת גבולות עליונים או תחתונים לטווח הפונקציה. לדוגמא, מצא את טווח f (x) = x ^ 2 + 1 / x ^ 2. ברור שיש לזה מינימום, אבל איפה? תלמידי חשבון רבים ייקחו מיד נגזרת. זה עובד בסדר, אבל אם אתה מכיר את חוסר השוויון ב- AM-GM, אין צורך בתותחנים כבדים של חשבון. f (x) = 2 * AM (x ^ 2, 1 / x ^ 2). ה- GM של (x ^ 2, 1 / x ^ 2) הוא 1, ומכיוון שה- AM הוא יותר מזה, f (x) הוא תמיד לפחות 2, וטווח ה- f הוא [2, אינסוף).
שאלות ללא מענה
- כיצד אוכל למצוא את טווח הכוח המוזר בקואורדינטות ספציפיות?
- אם f (x) = 2x + 4, איך אוכל למצוא את הטווח?
