כיצד לחשב שונות?

כתוב את קבוצת הנתונים לדוגמה שלך. ברוב המקרים, לסטטיסטיקאים יש רק גישה למדגם, או לקבוצת משנה של האוכלוסייה שהם לומדים. לדוגמא, במקום לנתח את "עלות כל מכונית בגרמניה", יכול סטטיסטיקאי למצוא את העלות של מדגם אקראי של כמה אלפי מכוניות. הוא יכול להשתמש במדגם זה כדי לקבל הערכה טובה של עלויות הרכב הגרמניות, אך סביר להניח שהוא לא יתאים בדיוק למספרים בפועל.

• דוגמא: ניתוח מספר המאפינס הנמכרים בכל יום בקפיטריה, מדגמים שישה ימים באופן אקראי ומקבלים תוצאות אלה: 38, 37, 36, 28, 18, 14, 12, 11, 10,7, 9,9. זהו מדגם, לא אוכלוסייה, מכיוון שאין לך נתונים על כל יום הקפיטריה הייתה פתוחה.
• אם יש לך כל נקודת נתונים באוכלוסייה, דלג למטה לשיטה למטה במקום זאת.

רשמו את נוסחת השונות לדוגמא. השונות של מערך נתונים מספרת לך כמה נקודות הנתונים פרושות. ככל שהשונות קרובה לאפס, כך נקודות הנתונים מקובצות יחד. בעבודה עם ערכות נתונים לדוגמה, השתמש בנוסחה הבאה לחישוב השונות:

• s2 {\ displaystyle s ^ {2}} = ^{∑ [( xi {\ displaystyle x_ {i}} - x) 2 {\ displaystyle ^ {2}} ]} / _{(n - 1)}
• s2 {\ displaystyle s ^ {2}} הוא השונות. השונות נמדדת תמיד ביחידות בריבוע.
• xi {\ displaystyle x_ {i}} מייצג מונח במערכת הנתונים שלך.
• ∑, שפירושו "סכום", אומר לך לחשב את המונחים הבאים עבור כל ערך של xi {\ displaystyle x_ {i}} , ואז להוסיף אותם יחד.
• x הוא הממוצע של המדגם.
• n הוא מספר נקודות הנתונים.

חשב את ממוצע המדגם. הסמל x או "סרגל x" מתייחס לממוצע של מדגם. חשב את זה כמו שאתה מתכוון: הוסף את כל נקודות הנתונים יחד, ואז חלק את מספר נקודות הנתונים.

• דוגמה: ראשית, הוסף את נקודות הנתונים שלך יחד: 17 + 15 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
  לאחר מכן, חלק את התשובה שלך במספר נקודות הנתונים, במקרה זה שש: 84 ÷ 6 = 14.
  ממוצע לדוגמא = x = 14.
• אתה יכול לחשוב על הממוצע כ"נקודת המרכז "של הנתונים. אם הנתונים מקובצים סביב הממוצע, השונות נמוכה. אם הוא פרוש רחוק מהממוצע, השונות גבוהה.

הפחת את הממוצע מכל נקודת נתונים. עכשיו הגיע הזמן לחשב את xi {\ displaystyle x_ {i}} - x, כאשר xi {\ displaystyle x_ {i}} הוא כל מספר בערכת הנתונים שלך. כל תשובה אומרת לך סטיית המספר מהממוצע, או בשפה פשוטה, עד כמה היא רחוקה מהממוצע.

• דוגמה:
  x1 {\ displaystyle x_ {1}} - x = 17 - 14 = 3
  x2 {\ displaystyle x_ {2}} - x = 15 - 14 = 1
  x3 {\ displaystyle x_ {3}} - x = 23 - 14 = 9
  x4 {\ displaystyle x_ {4}} - x = 7 - 14 = -7
  x5 {\ displaystyle x_ {5}} - x = 9 - 14 = -5
  x6 {\ displaystyle x_ {6}} - x = 13 - 14 = -1
• קל לבדוק את עבודתך מכיוון שהתשובות שלך צריכות להסתכם באפס. זה נובע מהגדרת הממוצע, מכיוון שהתשובות השליליות (מרחק מממוצע למספרים קטנים יותר) מבטלות בדיוק את התשובות החיוביות (מרחק מממוצע למספרים גדולים יותר).

ריבוע כל תוצאה. כפי שצוין לעיל, רשימת הסטיות הנוכחית שלך ( xi {\ displaystyle x_ {i}} - x) מסתכמת באפס. פירוש הדבר ש"הסטייה הממוצעת "תמיד תהיה גם אפסית, כך שאינו אומר שום דבר לגבי התפשטות הנתונים. כדי לפתור בעיה זו, מצא את הריבוע של כל סטייה. זה יהפוך את כולם למספרים חיוביים, כך שהערכים השליליים והחיוביים כבר לא מבוטלים לאפס.

• דוגמה:
  ( x1 {\ displaystyle x_ {1}} - x) 2 = 32 = 9 {\ displaystyle ^ {2} = 3 ^ {2} = 9}
  (x2 {\ displaystyle (x_ {2}} - x) 2 = 12 = 1 {\ displaystyle ^ {2} = 1 ^ {2} = 1}
  9² = 81
  (-7) ² = 49
  (-5) ² = 25
  (-1) ² = 1
• כעת יש לך את הערך ( xi {\ displaystyle x_ {i}} - x) 2 {\ displaystyle ^ {2}} עבור כל נקודת נתונים במדגם שלך.

מצא את סכום הערכים בריבוע. עכשיו הגיע הזמן לחשב את כל המונים של הנוסחה: ∑ [( xi {\ displaystyle x_ {i}} - x) 2 {\ displaystyle ^ {2}} ]. הסיגמה באותיות רישיות, ∑, אומרת לך לסכם את הערך של המונח הבא עבור כל ערך של xi {\ displaystyle x_ {i}} . כבר חישבת ( xi {\ displaystyle x_ {i}} - x) 2 {\ displaystyle ^ {2}} עבור כל ערך של xi {\ displaystyle x_ {i}} במדגם שלך, אז כל מה שאתה צריך לעשות זה להוסיף את התוצאות יחד.

• דוגמה: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166.

חלקו ב- n - 1, כאשר n הוא מספר נקודות הנתונים. מזמן, סטטיסטיקאים פשוט מחולק n בעת החישוב השונה של המדגם. זה נותן לך את הערך הממוצע של הסטייה בריבוע, שהיא התאמה מושלמת לשונות של אותו מדגם. אך זכרו, מדגם הוא רק אומדן של אוכלוסייה גדולה יותר. אם היית לוקח מדגם אקראי אחר ומבצע את אותו חישוב, היית מקבל תוצאה אחרת. כפי שמתברר, חלוקה ב- n - 1 במקום n נותנת לך אומדן שונות יותר של השונות של האוכלוסייה הגדולה יותר, וזה מה שאתה באמת מעוניין בו. תיקון זה כל כך נפוץ, עד שזו כעת ההגדרה המקובלת על השונות של המדגם..

• דוגמה: יש שש נקודות נתונים במדגם, אז n = 6.
  שונות של המדגם = s2 = 1666−1 = {\ displaystyle s ^ {2} = {\ frac {166} {6-1}} =} 33,2

להבין שונות וסטיית תקן. שים לב, מכיוון שהיה נוסע בנוסחה, השונות נמדדת ביחידה בריבוע של הנתונים המקוריים. זה יכול לעשות את זה קשה להבין באופן אינטואיטיבי. במקום זאת, לעתים קרובות שימושי להשתמש בסטיית התקן. לא בזבזת את המאמץ שלך, מכיוון שסטיית התקן מוגדרת כשורש הריבועי של השונות. זו הסיבה ששונות המדגם נכתבת s2 {\ displaystyle s ^ {2}} , וסטיית התקן של המדגם היא s {\ displaystyle s} .

• לדוגמא, סטיית התקן של המדגם למעלה = s = √33,2 = 5,76.

התחל עם מערך נתוני אוכלוסייה. המונח "אוכלוסייה" מתייחס למכלול התצפיות הרלוונטיות. לדוגמה, אם אתה לומד את גיל תושבי טקסס, האוכלוסייה שלך תכלול את הגיל של כל תושב טקסס. בדרך כלל היית יוצר גיליון אלקטרוני עבור מערך נתונים גדול כזה, אך הנה ערכת נתונים לדוגמא קטנה יותר:

• דוגמא: בחדר האקווריום יש בדיוק שישה מיכלי דגים. ששת הטנקים מכילים את המספרים הבאים של דגים:
  x1 = 5 {\ displaystyle x_ {1} = 5}
  x2 = 5 {\ displaystyle x_ {2} = 5}
  x3 = 8 {\ displaystyle x_ {3} = 8}
  x4 = 12 {\ displaystyle x_ {4} = 12}
  x5 = 15 {\ displaystyle x_ {5} = 15}
  x6 = 18 {\ displaystyle x_ {6} = 18}

רשמו את נוסחת שונות האוכלוסייה. מכיוון שאוכלוסייה מכילה את כל הנתונים שאתה צריך, נוסחה זו נותנת לך את השונות המדויקת של האוכלוסייה. על מנת להבדיל אותה משונות המדגם (שהיא הערכה בלבד), הסטטיסטים משתמשים במשתנים שונים:

• σ 2 {\ displaystyle ^ {2}} = ^{(∑ ( xi {\ displaystyle x_ {i}} - μ) 2 {\ displaystyle ^ {2}} )} / _n
• σ 2 {\ displaystyle ^ {2}} = שונות האוכלוסייה. זוהי סיגמא באותיות קטנות, בריבוע. השונות נמדדת ביחידות בריבוע.
• xi {\ displaystyle x_ {i}} מייצג מונח במערכת הנתונים שלך.
• המונחים בתוך ∑ יחושבו עבור כל ערך של xi {\ displaystyle x_ {i}} , ואז יסוכמו.
• μ הוא ממוצע האוכלוסייה
• n הוא מספר נקודות הנתונים באוכלוסייה

מצא את ממוצע האוכלוסייה. בעת ניתוח אוכלוסייה, הסמל μ ("מו") מייצג את הממוצע החשבוני. כדי למצוא את הממוצע, הוסף את כל נקודות הנתונים יחד, ואז חלק את מספר נקודות הנתונים.

• אתה יכול לחשוב על הממוצע כ"ממוצע ", אך היזהר מכיוון שלמילה זו יש הגדרות מרובות במתמטיקה.
• דוגמה: ממוצע = μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 186 {\ displaystyle {\ frac {5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18} {6}}} = 10,5

הפחת את הממוצע מכל נקודת נתונים. נקודות נתונים הקרובות לממוצע יביאו להפרש קרוב יותר לאפס. חזור על בעיית החיסור עבור כל נקודת נתונים, ותוכל להתחיל להבין עד כמה הנתונים פרוסים.

• דוגמה:
  x1 {\ displaystyle x_ {1}} - μ = 5 - 10,5 = -5,5
  x2 {\ displaystyle x_ {2}} - μ = 5 - 10,5 = -5,5
  x3 {\ displaystyle x_ {3}} - μ = 8 - 10,5 = -2,5
  x4 {\ displaystyle x_ {4}} - μ = 12 - 10,5 = 1,5
  x5 {\ displaystyle x_ {5}} - μ = 15 - 10,5 = 4,5
  x6 {\ displaystyle x_ {6}} - μ = 18 - 10,5 = 7,5

ריבוע כל תשובה. כרגע, חלק מהמספרים שלך מהשלב האחרון יהיו שליליים, וחלקם יהיו חיוביים. אם אתה מצייר את הנתונים שלך בשורת מספרים, שתי קטגוריות אלה מייצגות מספרים משמאל לממוצע ומספרים מימין לממוצע. זה לא טוב לחישוב השונות, מכיוון ששתי קבוצות אלה יבטלו זו את זו. ריבוע כל מספר כך שכולם יהיו חיוביים במקום.

• דוגמה:
  ( xi {\ displaystyle x_ {i}} - μ) 2 {\ displaystyle ^ {2}} עבור כל ערך i מ -1 עד 6:
  (-5,5) 2 {\ displaystyle ^ {2}} = 30,25
  (-5,5) 2 {\ displaystyle ^ {2}} = 30,25
  (-2,5) 2 {\ displaystyle ^ {2}} = 6,25
  (1,5) 2 {\ displaystyle ^ {2}} = 2,25
  (4,5) 2 {\ displaystyle ^ {2}} = 20,25
  (7,5) 2 {\ displaystyle ^ {2}} = 56,25

מצא את ממוצע התוצאות שלך. כעת יש לך ערך עבור כל נקודת נתונים, הקשור (בעקיפין) עד כמה נקודת הנתונים רחוקה מהממוצע. קח את הממוצע של הערכים האלה על ידי הוספת כולם יחד, ואז חלק עם מספר הערכים.

• דוגמה:
  שונות האוכלוסייה = 30,25 + 30,25 + 6,25 + 2,25 + 20,25 + 56,256 = 145,56 = {\ displaystyle {\ frac {30,25 + 30,25 + 6, 25 + 2,25 + 20,25 + 56,25} {6}} = {\ frac {145,5} {6}} =} 24,25