כיצד להוכיח כי השורש הריבועי של שניים אינו רציונלי?
מספר לא רציונלי הוא מספר שאין לו מאפיין זה, הוא לא יכול לבוא לידי ביטוי כשבריר של שני מספרים.
מספרים רציונליים הם מספרים שיכולים לבוא לידי ביטוי כשבריר של שני מספרים שלמים, יחס. מספר לא רציונלי הוא מספר שאין לו מאפיין זה, הוא לא יכול לבוא לידי ביטוי כשבריר של שני מספרים. חלק מהמספרים המפורסמים ביותר אינם רציונליים - חשוב על π {\ displaystyle \ pi} , e {\ displaystyle e} (מספר אוילר) או על ϕ {\ displaystyle \ phi} (יחס הזהב). 2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} הוא מספר לא רציונלי, וניתן להוכיח זאת באופן אלגברי בצורה אלגנטית מאוד.
- 1נניח ש- 2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} הוא רציונלי. אז זה יכול לבוא לידי ביטוי כשבר ab {\ displaystyle {\ frac {a} {b}}} , כאשר {\ displaystyle a} ו- b {\ displaystyle b} שניהם מספרים שלמים, ו- b {\ displaystyle b} אינו 0 {\ displaystyle 0} . יתר על כן, שבר זה נכתב במונחים פשוטים ביותר, כלומר {\ displaystyle a} או b {\ displaystyle b} , או שניהם מספרים שלמים.
- 2 = ab {\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ frac {a} {b}}}
- 2ריבוע שני הצדדים.
- 2 = a2b2 {\ displaystyle 2 = {\ frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}}}
- 3הכפל את שני הצדדים ב- b2 {\ displaystyle b ^ {2}} .
- 2b2 = a2 {\ displaystyle 2b ^ {2} = a ^ {2}}
- 4שים לב ש a2 {\ displaystyle a ^ {2}} הוא מספר זוגי. a2 {\ displaystyle a ^ {2}} הוא מספר זוגי מכיוון שהוא שווה פי שניים למספר שלם. מכיוון ש a2 {\ displaystyle a ^ {2}} הוא שווה, {\ displaystyle a} חייב להיות אפילו יותר מכיוון שאם זה היה מוזר, a2 {\ displaystyle a ^ {2}} יהיה גם מוזר (מספר אי זוגי פעמים ומספר אי זוגי הוא תמיד מספר אי זוגי). {\ displaystyle a} הוא אחיד, כך שזה יכול להיות כתוב כפול מספר שלם מסוים, או במילים אחרות, a = 2k {\ displaystyle a = 2k} , כאשר k {\ displaystyle k} הוא המספר השלם הזה.
- 5החלף a = 2k {\ displaystyle a = 2k} למשוואה המקורית.
- 2 = (2k) 2b2 {\ displaystyle 2 = {\ frac {(2k) ^ {2}} {b ^ {2}}}} .
- 6הרחב (2k) 2 {\ displaystyle (2k) ^ {2}} . (2k) 2 = 22k2 = 4k2 {\ displaystyle (2k) ^ {2} = 2 ^ {2} k ^ {2} = 4k ^ {2}} .
- 2 = 4k2b2 {\ displaystyle 2 = {\ frac {4k ^ {2}} {b ^ {2}}}}
זהו מספר לא רציונלי, וניתן להוכיח זאת באופן אלגברי בצורה אלגנטית מאוד. - 7הכפל את שני הצדדים ב- b2 {\ displaystyle b ^ {2}} .
- 2b2 = 4k2 {\ displaystyle 2b ^ {2} = 4k ^ {2}} .
- 8חלק את שני הצדדים בשניים.
- b2 = 2k2 {\ displaystyle b ^ {2} = 2k ^ {2}}
- 9שים לב ש- b2 {\ displaystyle b ^ {2}} הוא מספר זוגי. b2 {\ displaystyle b ^ {2}} הוא מספר זוגי מכיוון שהוא שווה פי שניים למספר שלם. מכיוון ש- b2 {\ displaystyle b ^ {2}} הוא שווה, b {\ displaystyle b} חייב להיות שווה מדי, מכיוון שאם זה היה מוזר, b2 {\ displaystyle b ^ {2}} יהיה גם מוזר (מספר אי זוגי פעמים ומספר אי זוגי הוא תמיד מספר אי זוגי).
- 10מכירים בכך שזו סתירה. זה עתה הוכחת ש- {\ displaystyle b} הוא שווה. עם זאת, הוכחת גם ש- {\ displaystyle a} הוא מספר זוגי. זו סתירה מכיוון שבתחילת ההוכחה הזו, ההנחה הייתה ש ab {\ displaystyle {\ frac {a} {b}}} נכתב במונחים פשוטים ביותר, אך אם גם {\ displaystyle a} וגם b {\ תצוגה b} הם אחידים, ניתן לחלק את המונה ואת המכנה ב -2, כלומר הוא לא נכתב במונחים פשוטים ביותר. מכיוון שמדובר בסתירה, ההנחה המקורית היא 2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} הוא רציונלי הוא שקר, ובכך מוביל למסקנה ש- 2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} אינו רציונלי.
- סוג זה של הוכחה הוא reductio ad absurdum (הפחתה לאבסורד). הוא מנסה להפריך טענה ידי מראה כי אם הטענה הייתה נכונה, זה יוביל למסקנה אבסורדית, בלתי אפשרית או לא מעשית.
