כיצד להפיק את אפקט הפנס ביחסות מיוחדת?
השפעה זו גורסת כי מקור אור נע שקרני האור שלו מרוכזות לכיוון התנועה, ולכן צופה במסגרת הייחוס של המקור מתבונן בשדה ראייה רחב יותר.
אפקט הפנס הוא אחת התוצאות היותר לא אינטואיטיביות של תורת היחסות המיוחדת של איינשטיין. השפעה זו גורסת כי מקור אור נע שקרני האור שלו מרוכזות לכיוון התנועה, ולכן צופה במסגרת הייחוס של המקור מתבונן בשדה ראייה רחב יותר.
מאמר זה יעבוד בממדים 2 + 1 לפשטות החישובים.
חלק 1 מתוך 2: גזירה
- 1הגדר 4 מומנטום. 4-מומנטום P {\ displaystyle P} הוא האנלוג היחסי של המומנטום הליניארי במכניקה הניוטונית, ששודרג לכלול מרכיב זמן נוסף. מרכיב זמן זה מתאר אנרגיה, ולכן 4 מומנטום מאחד את המומנטום והאנרגיה הליניארית לאובייקט מתמטי יחיד. להלן אנו כותבים 4 מומנטום כווקטור שורה כדי לחסוך מקום, למרות שיש לחשוב עליו כווקטור עמודות.
- P = (Ec, px, py) {\ displaystyle P = \ left ({\ frac {E} {c}}, p_ {x}, p_ {y} \ right)}
פתרון: השתמש בנוסחת אפקט פנס לקבלת הזוויות בהן אנו מעוניינים. - 2שקול מקור אור הפולט לכל הכיוונים. המומנטום הארבע של פוטון ממסגרת המנוחה של המקור תלוי אז בזווית יחסית למהירות המקור v, {\ displaystyle v,} שנגיד נקודות בכיוון + x {\ displaystyle + x} . למטה אנו מניחים שכל הפוטונים נפלטים באותה אנרגיה.
- P = (Ec, Eccosθ, Ecsinθ) {\ displaystyle P = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ frac {E} {c}} \ cos \ theta, {\ frac {E} {c}} \ sin \ theta \ right)}
- נסו לא לתת לקבועים c {\ displaystyle c} לזרוק אתכם - חשבו עליהם פחות כקבועים ויותר כגורמי המרה יחידה.
- 3לורנץ מתחזק למסגרת הקואורדינטות. זו המסגרת הנעה בכיוון −x {\ displaystyle -x} ביחס למקור. התוצאה של שילוט זה היא שיש לנו כמויות חיוביות על האלכסון של טרנספורמציית לורנץ. שים לב שאנו מציינים ראשוניים למסגרת הקואורדינטות, ולא למסגרת הנעית.
- (E′cE′ccosθ′E′csinθ ′) = (γγβ0γβγ0001) (EcEccosθEcsinθ) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {E ^ {\ prime}} {c} } \\ {\ frac {E ^ {\ prime}} {c}} \ cos \ theta ^ {\ prime} \\ {\ frac {E ^ {\ prime}} {c}} \ sin \ theta ^ { \ prime} \ end {pmatrix}} = {\ התחל {pmatrix} \ gamma & \ gamma \ beta & 0 \\\ gamma \ beta & \ gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} { \ frac {E} {c}} \\ {\ frac {E} {c}} \ cos \ theta \\ {\ frac {E} {c}} \ sin \ theta \ end {pmatrix}}}
- למעלה, β = vc {\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}} ו- γ = 11 − v2c2, {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}},} גורם לורנץ.
מקור אור הנע ליד פולט פוטונים בזוויות של - במילים אחרות, ישר מעל ומתחת. - 4לפתור אנרגיה במסגרת הקואורדינטות. משוואת המטריצה לעיל היא מערכת של משוואות ליניאריות. השלישי הוא טריוויאלי ולא אומר לנו שום דבר חדש.
- E′c = γEc + γβEccosθE ′ = γE (1 + βcosθ) {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {E ^ {\ prime}} {c}} & = \ gamma {\ frac {E} {c}} + \ gamma \ beta {\ frac {E} {c}} \ cos \ theta \\ E ^ {\ prime} & = \ gamma E \ left (1+ \ beta \ cos \ theta \ right) \ end {align}}}
- 5לפתור זווית במסגרת הקואורדינטות. התוצאה הסופית של הגזירה היא טרנספורמציה זווית שנראית קצת דומה תוספת של מהירויות הנוסחה.
- E′ccosθ ′ = γβEc + γEccosθγEc (1 + βcosθ) cosθ ′ = γEc (β + cosθ) cosθ ′ = β + cosθ1 + βcosθ {\ displaystyle { \ התחל {align} {\ frac {E ^ {\ prime}} {c}} \ cos \ theta ^ {\ prime} & = \ gamma \ beta {\ frac {E} {c}} + \ gamma {\ frac {E} {c}} \ cos \ theta \\ {\ frac {\ gamma E} {c}} \ left (1+ \ beta \ cos \ theta \ right) \ cos \ theta ^ {\ prime } & = {\ frac {\ gamma E} {c}} \ left (\ beta + \ cos \ theta \ right) \\\ cos \ theta ^ {\ prime} & = {\ frac {\ beta + \ cos \ theta } {1+ \ beta \ cos \ theta}} \ end {align}}}
- זהו אפקט הפנס.
אפקט הפנס הוא אחת התוצאות היותר לא אינטואיטיביות של תורת היחסות המיוחדת של איינשטיין. - 6דמיין את אפקט הפנס. בגלל חוסר האינטואיטיביות שלו, הוכנס חזותית לעיל כפי שהיא נראית ממסגרת ההתייחסות.
- הקווים האנכיים הם תוצאה של טרנספורמציות הזווית. בהנחה של חזון של 180 מעלות, אנו יכולים לראות כי צופה שנע במהירות יחסית יכול לראות גם מעט מאחוריה.
- הצבע מציין את אפקט הדופלר הרלטיביסטי. אנו יכולים לראות כי מבטו של המתבונן מולה הפך לכחול, והמבט על העברת הכחול הופך מרוכז יותר ליד מרכז שדה הראייה שלה. במהירות מספקת מהירה, היא יכולה לראות אינפרא אדום שהועבר בלוז, ואפילו גלי מיקרו ורדיו, כאור גלוי.
- מימין מראה מנהרה ממסגרת הייחוס שלה. ככל שהיא נעה יותר מהר, נראה שהיא נעה אחורה בהתחלה, אך זה לא המקרה - שדה הראייה שלה הולך ומתרחב. ההשקפה שלה הופכת בהדרגה לכחולה מוסטת והוסטה מאחוריה, המתאימה לקונוס ההיצרות באנימציה הראשונה. זכרו, במסגרת ההתייחסות שלה, היא לא זזה, אבל כל השאר כן.
- יש לציין גם כיצד המנהרה מתעקמת בהדרגה. זו תוצאה של תורת היחסות של סימולטניות. במכניקה ניוטונית, ההנחה היא כי צופה רואה את החלק העליון והתחתון של הקיר בו זמנית, ולכן הקווים האנכיים ישרים. זה לא המקרה ביחסיות מיוחדת. בגלל מהירות האור הסופית, האור ליד האמצע מגיע אליה לפני האור בחלק העליון והתחתון, כך שהמנהרה נראית בצורת קמורה.
חלק 2 מתוך 2: דוגמה
- 1שקול את הבעיה. מקור אור הנע ב- β = 35 {\ displaystyle \ beta = {\ frac {3} {5}}} פולט פוטונים בזוויות של θ = ± π2 {\ displaystyle \ theta = \ pm {\ frac {\ pi} { 2}}} - במילים אחרות, ישר מעל ומתחת. מהן הזוויות ביחס לכיוון המהירות במסגרת הקואורדינטות?
- פתרון: השתמש בנוסחת אפקט פנס כדי להשיג את הזוויות שאנחנו מעוניינים בהן. שים לב שהזוויות יהפכו באותה צורה לשני הכיוונים.
- cosθ ′ = β + cosθ1 + βcosθcosθ ′ = 35 + cosπ21 + 35cosπ2cosθ ′ = 35θ′≈ ± 53,13∘ {\ displaystyle {\ begin {align} \ cos \ theta ^ {\ prime} & = {\ frac {\ beta + \ cos \ theta} {1+ \ beta \ cos \ theta}} \\\ cos \ theta ^ {\ prime} & = {\ frac {{ \ frac {3} {5}} + \ cos {\ frac {\ pi} {2}}} {1 + {\ frac {3} {5}} \ cos {\ frac {\ pi} {2}} }} \\\ cos \ theta ^ {\ prime} & = {\ frac {3} {5}} \\\ theta ^ {\ prime} & \ approx \ pm 53,13 ^ {\ circ} \ end { מיושר}}}
- פתרון: השתמש בנוסחת אפקט פנס כדי להשיג את הזוויות שאנחנו מעוניינים בהן. שים לב שהזוויות יהפכו באותה צורה לשני הכיוונים.
