כיצד לפתור יחסי הישנות?

דע כי כל הישנות הצורה an = r * an-1 היא רצף גיאומטרי.

בניסיון למצוא נוסחה כלשהי רצף מתמטי, שלב ביניים נפוץ הוא למצוא את n ^th טווח, לא כפונקציה של n, אבל מבחינת תנאי מוקדם של הרצף. לדוגמא, למרות שזה יהיה נחמד שיש פונקציית טופס סגור למונח ^ה- n של רצף פיבונאצ'י, לפעמים כל מה שיש לך הוא יחס ההישנות, כלומר שכל מונח ברצף פיבונאצ'י הוא סכום שני המונחים הקודמים.. מאמר זה יציג מספר שיטות להסיק נוסחת טופס סגור מהישנות.

שיטה 1 מתוך 5: חשבון

1

שקול רצף חשבוני כגון 5, 8, 11, 14, 17, 20,....
2

מכיוון שכל מונח גדול מ -3 הקודם, הוא יכול לבוא לידי ביטוי כהישנות כפי שמוצג.
3

דעו כי כל הישנות הצורה a _n = a _n-1 + d היא רצף חשבוני.
4

כתוב את הנוסחה הסגורה לרצף חשבון, אולי עם לא ידועים כפי שמוצג.
5

פתר עבור כל לא ידוע, תלוי באופן בו אתחל הרצף. במקרה זה, מכיוון ש- 5 היה המונח ^ה 0, הנוסחה היא _n = 5 + 3n. אם במקום זאת, היית רוצה ש -5 תהיה המונח הראשון, היית מקבל _n = 2 + 3n.

שיטה 2 מתוך 5: גיאומטרית

1

שקול רצף גיאומטרי כגון 3, 6, 12, 24, 48,....
2

מכיוון שכל מונח הוא כפול מקודמו, ניתן לבטא אותו כהישנות כפי שמוצג.
3

דעו כי כל הישנות הצורה a _n = r * a _n-1 היא רצף גיאומטרי.
4

כתוב את הנוסחה בטופס סגור לרצף גיאומטרי, אולי עם לא ידוע כפי שמוצג.
5

פתר עבור כל לא ידוע, תלוי באופן בו אתחל הרצף. במקרה זה, מכיוון ש -3 היה המונח ^ה 0, הנוסחה היא _n = 3 * 2 ⁿ. אם במקום זאת, היית רוצה ש -3 תהיה המונח הראשון, היית מקבל _n = 3 * 2 ^(n-1).

הכירו בכך שכל חזרה של הטופס an = an-1 + d היא רצף חשבון.

שיטה 3 מתוך 5: פולינום

1

שקול את הרצף 5, 0, -8, -17, -25, -30,... ניתן על ידי הרקורסיה a _n = a _n-1 + n ² - 6n.
2

לכל רקורסיה של הטופס המוצג, כאשר p (n) הוא כל פולינום ב- n, תהיה נוסחת צורה סגורה של פולינום של מעלה אחת גבוהה יותר ממידת p.
3

כתוב את הצורה הכללית של פולינום של התואר הנדרש. בדוגמה זו, p הוא ריבועי, ולכן נצטרך קוביות כדי לייצג את הרצף a _n.
4

מכיוון שלקובץ כללי יש ארבעה מקדמים לא ידועים, נדרשים ארבעה מונחים של הרצף כדי לפתור את המערכת המתקבלת. כל ארבעה יעשו, אז בואו שימושים במונחי 0, 1, 2, ו 3. הרצה אחורה הישנה כדי למצוא את -1 ^th הטווח עלול לגרום כמה חישובים קלים יותר, אך לא הכרחי.
5
או לפתור את המערכת המתקבלת של משוואות deg (p) +2 ב- deg (p) = 2 לא ידועים או להתאים לפולינום lagrange לדרגות (p) +2 הידועות.
- אם המונח האפסוני היה אחד המונחים שהשתמשת בהם כדי לפתור את המקדמים, תקבל את המונח הקבוע של הפולינום בחינם ותוכל מיד להפחית את המערכת למשוואות deg (p) +1 ב- deg (p) +1 לא ידועות מוצג.
6

הציגו את הנוסחה הסגורה של _n כפולינומי עם מקדמים ידועים.

קרא גם: כיצד לפשט ביטויים במתמטיקה?

שיטה 4 מתוך 5: לינארית

1

זוהי השיטה הראשונה המסוגלת לפתור את רצף פיבוני בהקדמה, אך השיטה פותרת כל הישנות שבה המונח ^ה n הוא שילוב לינארי של מונחי k הקודמים. אז בואו ננסה את זה בדוגמה השונה המוצגת שהמונחים הראשונים שלה הם 1, 4, 13, 46, 157,....
2

כתוב את הפולינום האופייני להישנות. זה נמצא על ידי החלפת כל אחד a _n בהישנות על ידי x ⁿ וחלוקת על ידי x ^(nk) ומשאיר פולינומי מוניק של דרגה k ומונח קבוע שאינו אפס.
3

לפתור את הפולינום האופייני. במקרה זה, למאפיין יש דרגה 2 כך שנוכל להשתמש בנוסחה הריבועית כדי למצוא את שורשיה.
4
כל ביטוי של הטופס המוצג מספק את הרקורסיה. ה- c _i הם קבועים כלשהם ובסיס המעריכים הם שורשי המאפיין שנמצא לעיל. ניתן לאמת זאת באמצעות אינדוקציה.
- אם למאפיין יש שורש מרובה, שלב זה שונה מעט. אם r הוא שורש של ריבוי m, השתמש ב- (c ₁ r ⁿ + c ₂ nr ⁿ + c ₃ n ² r ⁿ +... + c _m n ^m-1 r ⁿ) במקום פשוט (c ₁ r ⁿ). לדוגמה, את הרצף החל 5, 0, -4, 16, 144, 640, 2240,... עונה היחסים רקורסיבית _n = 6 א _n-1 - 12a _n-2 + 8 א _n-3. לפולינום האופייני שורש משולש של 2 והנוסחה הצורה הסגורה a _n = 5 * 2ⁿ - 7 * n * 2 ⁿ + 2 * n ² * 2 ⁿ.
5

מצא את c _i העומדים בתנאי ההתחלה שצוינו. כמו בדוגמה הפולינומית, הדבר נעשה על ידי יצירת מערכת משוואות ליניאריות מהמונחים הראשוניים. מכיוון שלדוגמה זו יש שני לא ידועים, אנו זקוקים לשני מונחים. כל שני יעשה, אז קחו את 0 ^ה ו 1 ^st כדי להימנע מהצורך לגייס מספר רציונלי בחזקה גבוהה.
6

פתור את מערכת המשוואות שהתקבלה.
7

חבר את הקבועים שנוצרו לנוסחה הכללית כפתרון.

מכיוון שכל מונח הוא כפול מהקודם, הוא יכול לבוא לידי ביטוי כהישנות כפי שמוצג.

שיטה 5 מתוך 5: יצירת פונקציות

1

שקול את הרצף 2, 5, 14, 41, 122... שניתן על ידי הרקורסיה המוצגת. לא ניתן לפתור זאת באף אחת מהשיטות לעיל, אך ניתן למצוא נוסחה באמצעות פונקציות ייצור.
2

כתוב את הפונקציה המייצרת של הרצף. פונקציה מייצרת היא פשוט סדרת כוח רשמית כאשר המקדם x ⁿ הוא המונח ^ה -9 של הרצף.
3

נהל את פונקציית ההפקה כפי שמוצג. המטרה בשלב זה היא למצוא משוואה שתאפשר לנו לפתור לפונקציה המחוללת A (x). חלץ את הקדנציה הראשונית. החל את יחס ההישנות על התנאים הנותרים. פצל את הסכום. חלץ מונחים קבועים. השתמש בהגדרה של A (x). השתמש בנוסחה לסכום של סדרה גיאומטרית.
4

מצא את פונקציית המחולל a (x).
5

מצא את המקדם של x ⁿ ב- (x). השיטות לעשות זאת ישתנו בהתאם לאיך A (x) נראה, אך שיטת השברים החלקיים, בשילוב הכרת הפונקציה המחוללת של רצף גיאומטרי, עובדת כאן כמוצג.
6

כתוב את הנוסחה של _{n על} ידי זיהוי המקדם x ⁿ ב- a (x).

טיפים

אינדוקציה היא גם טכניקה פופולרית. לעתים קרובות קל להוכיח על ידי אינדוקציה שנוסחה מוגדרת עומדת ברקורסיה מוגדרת, אך הבעיה היא שדורש ניחוש הנוסחה מראש.
חלק משיטות אלה הן אינטנסיביות מבחינה חישובית עם הרבה הזדמנויות לטעות מטופשת. זה טוב לבדוק את הנוסחה מול כמה מונחים ידועים.
"במתמטיקה, מספרי פיבונאצ'י או רצף פיבונאצ'י הם המספרים ברצף השלמים הבא: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...
- ספירלת פיבונאצ'י: קירוב של ספירלת הזהב שנוצרה על ידי ציור קשתות מעגליות המחברות את הפינות הנגדיות לריבועים בריצוף פיבונאצ'י; זה משתמש בריבועים בגדלים 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ו -34.
- בהגדרה, שני המספרים הראשונים ברצף פיבונאצ'י הם 1 ו- 1, או 0 ו- 1, בהתאם לנקודת ההתחלה שנבחרה של הרצף, וכל מספר עוקב הוא הסכום של שני הקודמים.
- במונחים מתמטיים, הרצף F _n של מספרי פיבונאצ'י מוגדר על ידי יחס ההישנות
- F _n = F _n-1 + F _n-2 עם ערכי זרע F ₁ = 1, F ₂ = 1 או F ₀ = 0, F ₁ = 1.
- הגבול ככל שעולה n של היחס F _n / F _n-1 ידוע כ- Golden Golden Ratio או Golden Golden Mean או Phi (Φ), וכך גם הגבול כ- n גדל את היחס F _n-1 / F _n. " ¹