כיצד לפתור את החלקיק בבעיית תיבה?
במכניקת הקוונטים, החלקיק בתיבה הוא בעיה פשוטה מבחינה רעיונית במרחב המיקום המדגים את אופיים הקוונטי של חלקיקים בכך שהוא מאפשר רק ערכי אנרגיה נפרדים.
במכניקת קוונטים, החלקיק בקופסא היא בעיה פשוט מבחינה מושגית ב שטח עמדה כי ממחישה את האופי הקוונטי של חלקיקים בכך שהוא מאפשר ערכי דיסקרטי בלבד של אנרגיה. בבעיה זו, אנו מתחילים ממשוואת שרדינגר, מוצאים את ערכי האנרגיה, וממשיכים להטיל תנאי נורמליזציה כדי להפיק תפקודים עצמיים הקשורים לאותן רמות אנרגיה.
- 1התחל במשוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן. משוואת שרדינגר היא אחת המשוואות הבסיסיות במכניקת הקוונטים המתארת כיצד מצבים קוונטיים מתפתחים בזמן. המשוואה הבלתי תלויה בזמן היא משוואה עם ערך עצמי, ולכן, רק ערכים עצמיים מסוימים של אנרגיה קיימים כפתרונות.
- H ^ | ψ (x)⟩ = E | ψ (x)⟩ {\ displaystyle {\ hat {H}} | \ psi (x) \ rangle = E | \ psi (x) \ rangle}
- 2החלף את המילטונין של חלקיק חופשי למשוואת שרדינגר.
- בחלקיק החד-ממדי בתרחיש תיבה, המילטוניאן ניתן על ידי הביטוי הבא. זה מוכר מהמכניקה הקלאסית כסכום האנרגיות הקינטיות והפוטנציאליות, אך במכניקת הקוונטים אנו מניחים שהמיקום והמומנטום הם אופרטורים.
- H ^ = p ^ 22m + V (x) {\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + V (x)}
- במרחב המיקום, אופרטור המומנטום ניתן על ידי p ^ = - iℏddx. {\ Displaystyle {\ hat {p}} = - i \ hbar {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}}.}
- H ^ = - ℏ22md2dx2 + V (x) {\ displaystyle {\ hat {H}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} } {\ mathrm {d} x ^ {2}}} + V (x)}
- בינתיים, אנחנו נותנים V (x) = 0 {\ displaystyle V (x) = 0} בתוך הקופסה ו- V (x) = ∞ {\ displaystyle V (x) = \ infty} בכל מקום אחר. מכיוון ש- V (x) = 0 {\ displaystyle V (x) = 0} באזור שאנו מעוניינים בו, כעת נוכל לכתוב משוואה זו כמשוואה דיפרנציאלית לינארית עם מקדמים קבועים.
- −ℏ22md2ψdx2 = Eψ {\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ psi} {\ mathrm {d} x ^ {2} }} = E \ psi}
- סידור מחדש של מונחים והגדרת קבוע k2 = 2mEℏ2, {\ displaystyle k ^ {2} = {\ frac {2mE} {\ hbar ^ {2}}},} אנו מגיעים למשוואה הבאה.
- d2ψdx2 + k2ψ = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ psi} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} + k ^ {2} \ psi = 0}
זהו התיאור של חלקיק בתוך קופסה, מוקף באינסוף קירות אנרגיה פוטנציאליים. - בחלקיק החד-ממדי בתרחיש תיבה, המילטוניאן ניתן על ידי הביטוי הבא. זה מוכר מהמכניקה הקלאסית כסכום האנרגיות הקינטיות והפוטנציאליות, אך במכניקת הקוונטים אנו מניחים שהמיקום והמומנטום הם אופרטורים.
- 3פתור את המשוואה הנ"ל. משוואה זו מוכרת מהמכניקה הקלאסית כמשוואה המתארת תנועה הרמונית פשוטה.
- התיאוריה של משוואות דיפרנציאליות אומרת לנו שהפתרון הכללי למשוואה הנ"ל הוא מהצורה הבאה, כאשר A {\ displaystyle A} ו- B {\ displaystyle B} הם קבועים מורכבים שרירותיים ו- L {\ displaystyle L} הוא רוחב התיבה. אנו בוחרים קואורדינטות כך שקצה אחד של התיבה מונח על x = 0 {\ displaystyle x = 0} לפשטות החישובים.
- ψ (x) = Asinkx + Bcoskx, 0 <x <L {\ displaystyle \ psi (x) = A \ sin kx + B \ cos kx, \ quad 0 <x <L}
- כמובן, הפיתרון תקף רק לשלב כולל, אשר אכן משתנה עם הזמן, אך שינויי פאזה אינם משפיעים על אף אחת מהתצפיות שלנו, כולל אנרגיה. לכן, לענייננו, נכתוב את פונקציית הגל כמשתנה רק עם המיקום ψ (x), {\ displaystyle \ psi (x),} ומכאן השימוש במשוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן.
- התיאוריה של משוואות דיפרנציאליות אומרת לנו שהפתרון הכללי למשוואה הנ"ל הוא מהצורה הבאה, כאשר A {\ displaystyle A} ו- B {\ displaystyle B} הם קבועים מורכבים שרירותיים ו- L {\ displaystyle L} הוא רוחב התיבה. אנו בוחרים קואורדינטות כך שקצה אחד של התיבה מונח על x = 0 {\ displaystyle x = 0} לפשטות החישובים.
- 4הטילו תנאי גבול. זכור כי V (x) = ∞ {\ displaystyle V (x) = \ infty} בכל מקום מחוץ לקופסה, כך שתפקוד הגל חייב להיעלם בקצוות.
- ψ (0) = Asin (k⋅0) + Bcos (k⋅0) = 0 {\ displaystyle \ psi (0) = A \ sin (k \ cdot 0) + B \ cos (k \ cdot 0) = 0}
- ψ (L) = Asin (kL) + Bcos (kL) = 0 {\ displaystyle \ psi (L) = A \ sin (kL) + B \ cos (kL) = 0}
- זו מערכת של משוואות ליניאריות, לכן נוכל לכתוב את המערכת הזו בצורה מטריציונית.
- (01sinkLcoskL) (AB) = 0 {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\\ sin kL & \ cos kL \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} A \\ B \ end {pmatrix }} = 0}
- ψ (0) = Asin (k⋅0) + Bcos (k⋅0) = 0 {\ displaystyle \ psi (0) = A \ sin (k \ cdot 0) + B \ cos (k \ cdot 0) = 0}
- 5קח את הקובע של המטריצה והערך. על מנת שלמשוואה ההומוגנית הנ"ל יהיו פתרונות לא-טבעיים, הקובע חייב להיעלם. זו תוצאה סטנדרטית מאלגברה לינארית. אם אינך מכיר את הרקע הזה, אתה יכול להתייחס לזה כאל משפט.
- פונקציית הסינוס היא 0 רק כאשר הארגומנט שלה הוא מכפל שלם של π. {\ Displaystyle \ pi.}
- −sinkL = 0kL = nπ, n∈Z {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} - \ sin kL & = 0 \\ kL & = n \ pi, \ n \ in \ mathbb {Z} \ end {align}} }
- זכור ש- k = 2mEℏ2. {\ Displaystyle k = {\ sqrt {\ frac {2mE} {\ hbar ^ {2}}}.} לאחר מכן נוכל לפתור את E. {\ Displaystyle E.}
- kL = 2mEnℏ2L = nπ {\ displaystyle kL = {\ sqrt {\ frac {2mE_ {n}} {\ hbar ^ {2}}}} L = n \ pi}
- En = ℏ2π22mL2n2 {\ displaystyle E_ {n} = {\ frac {\ hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} n ^ {2}}
- אלו הם הערכים האנרגטיים של החלקיק בתיבה. מכיוון ש n {\ displaystyle n} הוא מספר שלם, האנרגיה של מערכת זו יכולה לקבל רק ערכים בדידים. זוהי תופעה מכנית קוונטית בעיקר, בשונה ממכניקה קלאסית, בה חלקיק יכול לקבל ערכים רציפים עבור האנרגיה שלו.
- האנרגיה של החלקיק יכולה לקבל רק ערכים חיוביים, אפילו במנוחה. אנרגיית מצב הקרקע E1 {\ displaystyle E_ {1}} נקראת אנרגיית נקודת האפס של החלקיק. האנרגיה המתאימה ל- n = 0 {\ displaystyle n = 0} אינה מותרת מכיוון שהדבר פיזי מייצג כי אין חלקיק בתיבה. מכיוון שהאנרגיות גדלות באופן ריבועי, רמות אנרגיה גבוהות יותר נפרשות יותר מרמות אנרגיה נמוכות יותר.
- כעת נמשיך להפיק את הפונקציות העצמיות האנרגטיות.
בחלקיק החד-ממדי בתרחיש תיבה, המילטוניאן ניתן על ידי הביטוי הבא. - פונקציית הסינוס היא 0 רק כאשר הארגומנט שלה הוא מכפל שלם של π. {\ Displaystyle \ pi.}
- 6כתוב את תפקוד הגל עם הקבוע הלא ידוע. אנו יודעים מאילוץ פונקציית הגל ב- x = 0 {\ displaystyle x = 0} כי B = 0 {\ displaystyle B = 0} (ראה את המשוואה הראשונה בשלב 4). לכן, פונקציית הגל תכלול מונח אחד בלבד מהפתרון הכללי של משוואת הדיפרנציאל. להלן, אנו מחליפים את k = nπL. {\ Displaystyle k = {\ frac {n \ pi} {L}}.}
- ψn (x) = AsinnπxL, n∈Z {\ displaystyle \ psi _ {n} (x) = A \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}}, \ n \ in \ mathbb {Z }}
- 7נרמל את תפקוד הגל. נורמליזציה תקבע את קבוע A {\ displaystyle A} ותבטיח שההסתברות למצוא את החלקיק בתיבה היא 1. מכיוון ש n {\ displaystyle n} יכול להיות רק מספר שלם, זה נוח להגדיר n = 1 {\ displaystyle n = 1} כאן, כמטרה היחידה להחליף ערך היא להשיג ביטוי ל- A. {\ displaystyle A.} כדאי לדעת את האינטגרל ∫0πsin2xdx = π2 {\ displaystyle \ int _ {0 } ^ {\ pi} \ sin ^ {2} x \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}}} בעת מנורמל.
- 1 = ∫ψ ∗ (x) ψ (x) dx = ∫0LA ∗ Asin2nπxL, n∈Z {\ displaystyle 1 = \ int \ psi ^ {*} (x) \ psi (x) \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {L} A ^ {*} A \ sin ^ {2} {\ frac {n \ pi x} {L}}, \ n \ in \ mathbb {Z}}
- 1 | A | 2 = ∫0Lsin2πxLdx, u = πxL = ∫0πLπsin2udu = Lππ2 {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} {\ frac {1} {| A | ^ {2}}} & = \ int _ {0} ^ {L} \ sin ^ {2} {\ frac {\ pi x} {L}} \ mathrm {d} x, \ u = {\ frac {\ pi x} {L}} \\ & = \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {L} {\ pi}} \ sin ^ {2} u \ mathrm {d} u \\ & = {\ frac {L} {\ pi }} {\ frac {\ pi} {2}} \ end {align}}}
- A = 2L {\ displaystyle A = {\ sqrt {\ frac {2} {L}}}}
- 8הגיע לתפקוד הגל. זהו התיאור של חלקיק בתוך קופסה, המוקף באינסוף קירות אנרגיה פוטנציאליים. בעוד ש n {\ displaystyle n} יכול לקבל ערך שלילי, התוצאה פשוט תשלול את פונקציית הגל ותביא לשינוי פאזה, ולא למצב שונה לחלוטין. אנו יכולים לראות בבירור מדוע מותרים רק אנרגיות נפרדות כאן, מכיוון שהתיבה מאפשרת פונקציות גל אלו עם צמתים ב- x = 0 {\ displaystyle x = 0} ו- x = L. {\ Displaystyle x = L.}
- ψn (x) = 2LsinnπxL, 0 <x <L {\ displaystyle \ psi _ {n} (x) = {\ sqrt {\ frac {2} {L}}} \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}}, \ 0 <x <L}
האנרגיה המקבילה אינה מותרת מכיוון שהדבר מייצג פיזית כי אין חלקיק בקופסה.
- כאשר מנרמל, החלפה של מספר שלם מתאים ל- n {\ displaystyle n} וביצוע החלפת ה- u המתקבלת תמיד תחזיר את התשובה הנכונה ל- A, {\ displaystyle A,} מכיוון שהשינוי בנגזרת מפוצה על ידי שינוי הגבול. ודא זאת על ידי הגדרת n = 2, {\ displaystyle n = 2,} או כל מספר שלם חיובי אחר, ונרמל שוב.
קרא גם: איך להמיס קרח במהירות?
