כיצד לגרום להבדל בין שני ריבועים מושלמים?

שיטת ההבדל בריבועים היא דרך קלה לגורם פולינום הכרוך בחיסור של שני ריבועים מושלמים.

ההבדל של שיטת ריבועים הוא קל דרך גורם פולינום כי כרוך החיסור של שני ריבועים מושלמים. באמצעות הנוסחה $A ^ {{2}} - b ^ {{2}} = (ab) (a + b)$ , אתה פשוט צריך למצוא את השורש הריבועי של כל ריבוע מושלם בפולינום, והחליף את הערכים הללו לנוסחה. ההבדל של שיטת ריבועים הוא כלי בסיסי ב אלגברה כי סביר להניח להשתמש לעתים קרובות כאשר לפתרון משוואות.

חלק 1 מתוך 3: הערכת הפולינום

1
זהה את המקדם, המשתנה והמידה של כל מונח. מקדם הוא המספר שלפני משתנה, המכופל במשתנה. המשתנה הוא הערך הלא ידוע, בדרך כלל מסומן על ידי x {\ displaystyle x} $איקס$ או y {\ displaystyle y} $י$ .. המידה מתייחסת למעריך המשתנה. לדוגמא, למונח מדרגה שנייה יש ערך לעוצמה השנייה ( x2 {\ displaystyle x ^ {2}} $X ^ {{2}}$ ) ולמונח מדרגה רביעית יש ערך לעוצמה הרביעית ( x4 {\ displaystyle x ^ {4} } $X ^ {{4}}$ ).
- למשל, בפולינום $36x ^ {{4}} - 100x ^ {{2}}$ , המקדמים הם $36$ ו- $100$ , המשתנה הוא $איקס$ , והמונח הראשון ( $36x ^ {{4}}$ ) הוא מונח מדרגה רביעית, והמונח השני ( $100x ^ {{2}}$ ) הוא מונח מדרגה שנייה.
2
חפש גורם שכיח ביותר. מכנה משותף גדול ביותר הוא הגורם הגבוה ביותר כי מחלק באופן שווה לתוך לשתי או יותר במונחים. אם יש גורם משותף לשני המונחים של הפולינום, חשוב זאת.
- לדוגמא, לשני המונחים בפולינום $36x ^ {{4}} - 100x ^ {{2}}$ יש גורם משותף גדול ביותר של $4x ^ {{2}}$ . אם גורמים לכך, הבעיה הופכת להיות $4x ^ {{2}} (9x ^ {{2}} - 25)$ .
המונחים הם הריבועים המושלמים בפולינום שלך, והם שורשי הריבועים המושלמים.
3
קבע אם המונחים הם ריבועים מושלמים. אם חילקתם גורם משותף גדול ביותר, אתם מסתכלים רק על המונחים שנותרים בסוגריים. ריבוע מושלם הוא תוצאה של הכפלת מספר שלם בפני עצמו. משתנה הוא ריבוע מושלם אם המעריך שלו הוא מספר זוגי. אתה יכול להשתמש רק בהפרש הריבועים אם כל מונח בפולינום הוא ריבוע מושלם.
- לדוגמה, $9x ^ {{2}}$ הוא ריבוע מושלם, כי $(3x) (3x) = 9x ^ {{2}}$ . המספר $25$ הוא גם ריבוע מושלם, כי $(5) (5) = 25$ . לפיכך, אתה יכול $9x ^ {{2}} - 25$ גורם $9x2−25 {\ displaystyle 9x ^ {2} -25}$ באמצעות נוסחת ההפרש של הריבועים.
4
ודא שאתה מוצא את ההבדל. אתה יודע שאתה מוצא את ההבדל אם יש לך פולינום שמחסר מונח אחד מהשני. ההבדל בריבועים חל רק על הפולינומים הללו, ולא על אלה שבהם משתמשים בתוספת.
- לדוגמא, אינך יכול $9x ^ {{2}} + 25$ גורם $9x2 + 25 {\ displaystyle 9x ^ {2} +25}$ באמצעות נוסחת ההפרש של הריבועים, מכיוון שבפולינום זה אתה מוצא סכום, ולא הבדל.

חלק 2 מתוך 3: שימוש בנוסחה

1

הגדר את הנוסחה להפרש הריבועים. הנוסחה היא $A ^ {{2}} - b ^ {{2}} = (ab) (a + b)$ . המונחים $A ^ {{2}}$ ו- $ב ^ {{2}}$ הם הריבועים המושלמים בפולינום שלך, ו- $א$ ו- $ב$ הם שורשי ה ריבועים מושלמים.

לדוגמא, אינך יכול לעשות שימוש בחישוב באמצעות נוסחת ההפרש של הריבועים, כי בפולינום זה אתה מוצא סכום ולא הבדל.
2
חבר את המונח הראשון לנוסחה. זה הערך עבור {\ displaystyle a} $א$ . כדי למצוא ערך זה, קח את השורש הריבועי של הריבוע המושלם הראשון בפולינום. זכור כי שורש ריבועי של מספר הוא גורם שאתה מכפיל בפני עצמו כדי לקבל את המספר הזה.
- לדוגמה, מכיוון $(3x) (3x) = 9x ^ {{2}}$ , השורש הריבועי של $9x ^ {{2}}$ הוא $3x$ . אז אתה צריך להחליף ערך זה ל- $א$ בנוסחת ההפרש של הריבועים: $9x ^ {{2}} - 25 = (3x-b) (3x + b)$ .
3
חבר את המונח השני לנוסחה. זהו הערך עבור b {\ displaystyle b} $ב$ , שהוא השורש הריבועי של המונח השני בפולינום.
- למשל, מכיוון ש $(5) (5) = 25$ , השורש הריבועי של $25$ הוא $5$ . אז אתה צריך להחליף ערך זה ב- $ב$ בנוסחת ההפרש של הריבועים: $9x ^ {{2}} - 25 = (3x-5) (3x + 5)$ .
4
בדוק את עבודתך. השתמש בשיטת FOIL כדי להכפיל את שני הגורמים. אם התוצאה שלך היא הפולינום המקורי שלך, אתה יודע שחשבת נכון.
- לדוגמא:
  $(3x-5) (3x + 5)$
  $= 9x ^ {{2}} + 15x-15x-25$
  $= 9x ^ {{2}} - 25$ .

משתנה הוא ריבוע מושלם אם המעריך שלו הוא מספר זוגי. אתה יכול להשתמש רק בהפרש הריבועים אם כל מונח בפולינום הוא ריבוע מושלם.

חלק 3 מתוך 3: פתרון בעיות תרגול

1
פקטור פולינום זה. השתמש בהפרש של נוסחת שני ריבועים: 36x4−9 {\ displaystyle 36x ^ {4} -9} $36x ^ {{4}} - 9$ .
- למונחים אין גורם משותף גדול ביותר, ולכן אין צורך להכניס דבר מהפולינומי.
- המונח $36x ^ {{4}}$ הוא ריבוע מושלם, שכן $(6x ^ {{2}}) (6x ^ {{2}}) = 36x ^ {{4}}$ .
- המונח $9$ הוא ריבוע מושלם, שכן $(3) (3) = 9$ .
- ההבדל בנוסחת הריבועים הוא $A ^ {{2}} - b ^ {{2}} = (ab) (a + b)$ . לפיכך, $36x ^ {{4}} - 9 = (ab) (a + b)$ , כאשר $א$ ו- $ב$ הם השורשים הריבועיים של הריבועים המושלמים.
- השורש הריבועי של $36x ^ {{4}}$ הוא $6x ^ {{2}}$ . חיבור ל- $א$ יש לך $36x ^ {{4}} - 9 = (6x ^ {{2}} - b) (6x ^ {{2}} + b)$ .
- השורש הריבועי של $9$ הוא $3$ . אז התחבר ל- $ב$ , יש לך $36x ^ {{4}} - 9 = (6x ^ {{2}} - 3) (6x ^ {{2}} + 3)$ .
2
נסה לשקול פולינום זה. ודא שאתה גורם גורם משותף גדול ביותר, והשתמש בהפרש של שני ריבועים: 48x3−27x {\ displaystyle 48x ^ {3} -27x} $48x ^ {{3}} - 27x$ .
- מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של כל מונח. מונח זה הוא $3x$ , אז $3x (16x ^ {{2}} - 9)$ לפולינום: $3x (16x2−9) {\ displaystyle 3x (16x ^ {2} -9)}$ .
- המונח $16x ^ {{2}}$ הוא ריבוע מושלם, שכן $(4x) (4x) = 16x ^ {{2}}$ .
- המונח $9$ הוא ריבוע מושלם, שכן $(3) (3) = 9$ .
- ההבדל בנוסחת הריבועים הוא $A ^ {{2}} - b ^ {{2}} = (ab) (a + b)$ . לפיכך, $48x ^ {{3}} - 27x = 3x (ab) (a + b)$ , כאשר $א$ ו- $ב$ הם השורשים הריבועיים של הריבועים המושלמים.
- השורש הריבועי של $16x ^ {{2}}$ הוא $4x$ . חיבור ל- $א$ יש לך $48x ^ {{3}} - 27x = 3x (4x-b) (4x + b)$ .
- השורש הריבועי של $9$ הוא $3$ . אז התחבר ל- $ב$ , יש לך $48x ^ {{3}} - 27x = 3x (4x-3) (4x + 3)$ .
3
פקטור הפולינום הבא. יש לו שני משתנים, אך הוא ממלא $4x ^ {{2}} - 81y ^ {{2}}$ אחר הכללים לשיטת הפרש הריבועים: 4x2−81y2 {\ displaystyle 4x ^ {2} -81y ^ {2}}.
- אף גורם אינו משותף לכל מונח בפולינום זה, ולכן אין מה להכריע לפני שתתחיל לבחון את ההבדל בריבועים.
- המונח $4x ^ {{2}}$ הוא ריבוע מושלם, שכן $(2x) (2x) = 4x ^ {{2}}$ .
- המונח $81 שנה ^ {{2}}$ הוא ריבוע מושלם, שכן $(9y) (9y) = 81y ^ {{2}}$ .
- ההבדל בנוסחת הריבועים הוא $A ^ {{2}} - b ^ {{2}} = (ab) (a + b)$ . לפיכך, $4x ^ {{2}} - 81y ^ {{2}} = (ab) (a + b)$ , כאשר $א$ ו- $ב$ הם השורשים הריבועיים של הריבועים המושלמים.
- השורש הריבועי של $4x ^ {{2}}$ הוא $2x$ . חיבור ל- $א$ יש לך $4x ^ {{2}} - 81y ^ {{2}} = (2x-b) (2x + b)$ .
- השורש הריבועי של $81 שנה ^ {{2}}$ הוא $9y$ . אז חיבור ל- $ב$ , יש לכם $4x ^ {{2}} - 81y ^ {{2}} = (2x-9y) (2x + 9y)$ .