איך לעלות על האור בתורת היחסות המיוחדת?

להבין את מושג המהירות. מהירות ξ {\ displaystyle \ xi} היא כמות חסרת ממד שקשורה למהירות β. {\ Displaystyle \ beta.}

• בתורת היחסות המיוחדת, המהירות היא כמות טבעית יותר לעבוד איתה מכיוון שבניגוד למהירות, המהירות היא תוספת ליניארית דרך tanh − 1⁡β3 = tanh − 1⁡β1 + tanh − 1⁡β2, {\ displaystyle \ tanh ^ {- 1 } \ beta _ {3} = \ tanh ^ {- 1} \ beta _ {1} + \ tanh ^ {- 1} \ beta _ {2},} כאשר ξ = tanh − 1⁡β. {\ displaystyle \ xi = \ tanh ^ {- 1} \ beta.}

דמיין פונקציות היפרבוליות. גרף את הפונקציה ξ = tanh − 1⁡β, {\ displaystyle \ xi = \ tanh ^ {- 1} \ beta,} שכן היא ממחישה כמה מאפיינים חשובים של מהירות.

• ראשית, כאשר | β | ≪1, tanh − 1⁡β≈β. {\ Displaystyle | \ beta | \ ll 1, \ tanh ^ {- 1} \ beta \ approx \ beta.} במילים אחרות, המהירות מצטמצמת ל מהירות ניוטונית במהירות יומיומית. זה מאשר שההגדרה שלנו למהירות תואמת את המכניקה הניוטונית.
• שנית, ל- tanh − 1⁡β {\ displaystyle \ tanh ^ {- 1} \ beta} יש תחום של (−11), {\ displaystyle (-11),} אך טווח של (−∞, ∞). { \ displaystyle (- \ infty, \ infty). ככל שמתקרבים למהירות האור, המהירות מתחילה לעלות מהר יותר ויותר עד שהיא הופכת לאינסופית במהירות האור.

שכתב מחדש פרמטרים נפוצים מבחינת מהירות. באמצעות זהויות טריגונומטריות היפרבוליות, ניתן לשכתב את γ {\ displaystyle \ gamma} ו- βγ {\ displaystyle \ beta \ gamma} במונחים של ξ. {\ Displaystyle \ xi.} הכמות האחרונה נראית לעיתים קרובות ביחסיות מיוחדת. כל שלוש הפונקציות הבסיסיות ההיפרבליות מפורטות להלן.

• β = tanh⁡ξ {\ displaystyle \ beta = \ tanh \ xi}
• γ = cosh⁡ξ {\ displaystyle \ gamma = \ cosh \ xi}
• βγ = sinh⁡ξ {\ displaystyle \ beta \ gamma = \ sinh \ xi}

כתוב מחדש את התמורות של לורנץ במונחים של מהירות. הקלות היחסית של נגזרות היפרבוליות הופכת את הפרמטריזציה הזו לאטרקטיבית.

• ct ′ = ctcosh⁡ξ − xsinh⁡ξx ′ = xcosh⁡ξ − ctsinh⁡ξ {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} ct ^ {\ prime} & = ct \ cosh \ xi -x \ sinh \ xi \\ x ^ {\ prime} & = x \ cosh \ xi -ct \ sinh \ xi \ end {align}}}

להבין את הרעיון של 4 וקטורים. 4-וקטורים הם אובייקטים שימושיים בתורת היחסות המיוחדת מכיוון שהם הופכים בצורה לינארית מתחת לתמורות לורנץ. הם אנלוגי החלל מינקובסקי של וקטורים רגילים במרחב האוקלידי.

• ישנם שני סוגים של 4 וקטורים בתורת היחסות המיוחדת: מנוגדים ומשתנים. וקטורים מנוגדים הם מה שאנחנו חושבים בדרך כלל על וקטורים - הם משתנים הפוך תחת שינוי בצירי הייחוס (שינוי בסיס) כדי לשמר את המאפיינים הבלתי תלויים של הקואורדינטות שלהם, כמו למשל גודלם. 4 מיקום ו -4 מהירות הם וקטורים 4 מנוגדים. בשינה בסימון מדד, מדדים עיליים להעיד על הנוכחות של contravariance.
• וקטורים קובריאנטיים משתנים באותה דרך תחת שינוי בסיס ומסומנים במדדי המשנה. דוגמה לווקטור משתנה תהיה שיפוע. אנו יכולים גם להגדיר את הצורה הקובריאנטית של וקטור מנוגד על ידי החלת המתח המטרי המתאים להורדת המדד. בשלבים 4 ו- 7, אנו מנרמל את 4 הווקטורים על ידי ביצוע בדיוק זה.

הבן את מדד המינקובסקי. המדד הוא טנזור שהוא בסיסי לתורת היחסות המיוחדת. מדד זה ישמש בחלק זה כדי לתפעל 4 וקטורים. בהגדרה שלהלן, μ {\ displaystyle \ mu} ו- ν {\ displaystyle \ nu} הם מדדים העומדים על 0 עד 3.

• ημν = (10000−10000−10000−1). {\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\\ סוף {pmatrix}}.}
• זהו המדד מינקובסקי שעשוי להיות זמן המניב מרווח זמן חיובי לאירועים בזמן (ראה שלב 4). יש מחברים שמגדירים את המדד דמוי החלל, אשר שולל את הסימנים.
• במרחב האוקלידי תלת מימדי, המדד המקביל נראה זהה למטריצת הזהות 3x3. בעת ביצוע טרנספורמציות במרחב האוקלידי, אתה למעשה מכפיל את המדד הזה בתהליך.

הגדר 4 עמדות. 4-עמדה היא 4-וקטור המתאר קואורדינטות במרחב ובזמן, הנקרא אירועים.

• Xμ = (ct, x, y, z) {\ displaystyle X ^ {\ mu} = (ct, x, y, z)}

נרמל 4 עמדות. כאשר הנורמליזציה של המיקום הארבע מתואר סקלר הלורנץ המתקבל ומתאר את מרווח הזמן, זמן שאינו משתנה - כזה שאינו משתנה תחת שינויים במסגרות הייחוס. מרווח הזמן הוא החלל האנלוגי של מינקובסקי בגודל הווקטור במרחב האוקלידי.

• XμXμ = XμXνημν (cτ) 2 = (ct) 2 − x2 − y2 − z2 {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} X ^ {\ mu} X _ {\ mu} & = X ^ {\ mu} X ^ {\ nu} \ eta _ {\ mu \ nu} \\ (c \ tau) ^ {2} & = (ct) ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2} \ סוף {מיושר}}}
• כתוצאה מההגדרה שלנו למדד מינקובסקי, כאשר (cτ) 2> 0, {\ displaystyle (c \ tau) ^ {2}> 0,} נאמר כי מרווח הזמן הוא זמן. כאשר (cτ) 2 <0, {\ displaystyle (c \ tau) ^ {2} <0,} נאמר שהוא דמוי רווח. לבסוף, כאשר (cτ) 2 = 0, {\ displaystyle (c \ tau) ^ {2} = 0,} נאמר שהמרווח דומה או אפס.

הגדר 4 מהירויות. במכניקה ניוטונית קל להגדיר מהירות כקצב הזמן של שינוי המיקום, מכיוון שהזמן אינו תלוי במסגרת הייחוס. עם זאת, תורת היחסות המיוחדת אינה מעמידה את הזמן המוחלט. הדרך בה אנו עוקפים זאת היא על ידי לקיחת קצב השינוי של 4 המיקומים ביחס לזמן המתאים, מכיוון שמרווח הזמן כפי שנכתב במונחים של זמן מתאים הוא משתנה. כאן ניקח את הנגזרת ביחס ל- cdτ {\ displaystyle c \ mathrm {d} \ tau} כדי להמיר ליחידות חסרות ממד, אם כי מהירות 4 מוגדרת בדרך כלל ללא 1c {\ displaystyle {\ frac {1} {c גורם }}.

• Vμ = dXμcdτ {\ displaystyle V ^ {\ mu} = {\ frac {\ mathrm {d} X ^ {\ mu}} {c \ mathrm {d} \ tau}}}

כתוב מחדש 4 מהירות במונחים של מהירות. לא ברור מיד כיצד יש לשכתב זאת בהתחשב בכך שהזמן הוא יחסי.

• השתמש בכלל השרשרת כדי לשכתב את הנגזרות ביחס לתאום זמן t. {\ Displaystyle t.}
  • dXμcdτ = (cdtcdτ, dxcdτ, dycdτ, dzcdτ) = (dtdτ, dxdtdtcdτ, dydtdtcdτ, dzdtdtcdτ) {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} X ^ {\ mu}} {c \ mathrm {d} \ tau}} & = \ שמאל (c {\ frac {\ mathrm {d} t} {c \ mathrm {d} \ tau}}, {\ frac {\ mathrm {d} x} {c \ mathrm {d} \ tau}}, {\ frac {\ mathrm {d} y} {c \ mathrm {d} \ tau}}, {\ frac {\ mathrm {d} z} {c \ mathrm {d} \ tau}} \ ימין) \\ & = \ שמאל ({\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ tau}}, {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} t} {c \ mathrm {d} \ tau}}, {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} { \ frac {\ mathrm {d} t} {c \ mathrm {d} \ tau}}, {\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d } t} {c \ mathrm {d} \ tau}} \ right) \ end {align}}}
• זכור ש- β = vc {\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}} ו- γ = dtdτ. {\ Displaystyle \ gamma = {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ tau}}.}
  • dXμcdτ = (γ, βxγ, βyγ, βzγ) = (γ, βγ) {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} {\ frac {\ mathrm {d} X ^ {\ mu}} {c \ mathrm {d} \ tau}} & = (\ gamma, \ beta _ {x} \ gamma, \ beta _ {y} \ gamma, \ beta _ {z} \ gamma) \\ & = (\ gamma, \ beta \ gamma) \ סוף {מיושר}}}
• בשלב האחרון דחסנו את הרכיבים המרחבים של הווקטור 4. שים לב שוב שההגדרה שלנו מוציאה 4 מהירות ללא ממד. נוחות זו נראית בגזירה.

לנרמל 4 מהירות.

• VμVμ = VμVνημν = γ2− (βγ) 2 = γ2 (1 − β2) {\ displaystyle {\ התחל {מיושר} V ^ {\ mu} V _ {\ mu} & = V ^ {\ mu} V ^ {\ nu } \ eta _ {\ mu \ nu} \\ & = \ gamma ^ {2} - (\ beta \ gamma) ^ {2} \\ & = \ gamma ^ {2} (1- \ beta ^ {2}) \ end {align}}}
• זכור כי γ2 = 11 − β2. {\ Displaystyle \ gamma ^ {2} = {\ frac {1} {1- \ beta ^ {2}}}.} זה מצוין, מכיוון שאנו מכירים בכך שמהירות 4 היא אוטומטית מנורמל.
  • VμVνημν = 1 {\ displaystyle V ^ {\ mu} V ^ {\ nu} \ eta _ {\ mu \ nu} = 1}
• אם הגדרנו 4 מהירות ביחידות מהירות, הסקלר של לורנץ יהיה c2. {\ Displaystyle c ^ {2}.} כעת אנו מוכנים להתחיל בגזירה.

החלף מחדש 4 מהירויות במונחים של מהירות. לשם פשטות, נעבוד בממדים של 1 + 1.

• Vμ = (γβγ) = (cosh⁡ξsinh⁡ξ) {\ displaystyle V ^ {\ mu} = \ left ({\ begin {matrix} \ gamma \\\ beta \ gamma \ end {matrix}} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} \ cosh \ xi \\\ sinh \ xi \ end {matrix}} \ right)}
• קל לראות כאן מדוע נורמליזציה אוטומטית של 4 מהירויות, שכן cosh2⁡ξ − sinh2⁡ξ = 1. {\ Displaystyle \ cosh ^ {2} \ xi - \ sinh ^ {2} \ xi = 1.}

קח את נגזרת הזמן המתאימה. שימו לב לשימוש בכלל השרשרת.

• dVμdτ = (sinh⁡ξdξdτcosh⁡ξdξdτ) = (sinh⁡ξcosh⁡ξ) dξdτ {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} V ^ {\ mu}} {\ mathrm {d} \ tau}} = \ left ({\ begin {matrix} \ sinh \ xi {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {\ mathrm {d} \ tau}} \\\ cosh \ xi {\ frac {\ mathrm {d} \ xi } {\ mathrm {d} \ tau}} \ end {matrix}} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} \ sinh \ xi \\\ cosh \ xi \ end {matrix}} \ right) { \ frac {\ mathrm {d} \ xi} {\ mathrm {d} \ tau}}}

השג תאוצה נכונה במסגרת הכניסה מייד. מסגרת הכניסה היא אינרציאלית לרגע ביחס לאובייקט. כל שעלינו לעשות הוא ליישם טרנספורמציה של לורנץ כדי לחזק את המסגרת הזו.

• (cosh⁡ξ − sinh⁡ξ − sinh⁡ξcosh⁡ξ) (sinh⁡ξcosh⁡ξ) dξdτ = (01) dξdτ {\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} \ cosh \ xi & - \ sinh \ xi \\ - \ sinh \ xi & \ cosh \ xi \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} \ sinh \ xi \\\ cosh \ xi \ end {matrix}} \ right) { \ frac {\ mathrm {d} \ xi} {\ mathrm {d} \ tau}} = \ left ({\ begin {matrix} 0 \\ 1 \ end {matrix}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {\ mathrm {d} \ tau}}}
• זה מאשר כי תאוצה נכונה היא פשוט קצב שינוי המהירות ביחס לזמן המתאים. התגברות למסגרות מתחלפות היא האופן שבו אנו מתמודדים עם האצה ביחסיות מיוחדת.
• אתה יכול לבדוק שתהליך זה עובד על ידי החלת טרנספורמציית לורנץ למהירות 4. הכמות המתקבלת (10) {\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix}} \ right)} פשוט מתארת את מהירות 4 האובייקט של אותו אובייקט במסגרת המוצאת - הוא נע בזמן, אך לא בחלל, כפי שהיינו מצפים.

פרמטרים מחדש מבחינת הזמן המתאים.

• אם dξdτ {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {\ mathrm {d} \ tau}}} הוא קבוע, ממה שניתן לכתוב באופן ממדי כ- dξdτ = 1τ0. {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {\ mathrm {d} \ tau}} = {\ frac {1} {\ tau _ {0}}}.}
• לאחר מכן, הפרדת משתנים ושילוב נותנות ξ = ττ0, {\ displaystyle \ xi = {\ frac {\ tau} {\ tau _ {0}}},} כך שהמהירות 4 הופכת ל (cosh⁡ττ0sinh⁡ττ0). { \ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} \ cosh {\ frac {\ tau} {\ tau _ {0}}} \\\ sinh {\ frac {\ tau} {\ tau _ {0}}} \ סוף {מטריצה}} \ ימין).}

שלב את המהירות עם 4 מהירות ביחס לזמן המתאים. שילוב מייצר קבועים שניתן להתעלם מהם. זכור שמכיוון שהגדרנו 4 מהירות עם גורם c {\ displaystyle c} נוסף , עלינו להוסיף את זה ככל שאנו משתלבים.

• (ctx) = (cτ0sinh⁡ττ0cτ0cosh⁡ττ0) {\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} ct \\ x \ end {matrix}} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} c \ tau _ {0} \ sinh {\ frac {\ tau} {\ tau _ {0}}} \\ c \ tau _ {0} \ cosh {\ frac {\ tau} {\ tau _ {0}}} \ end {matrix}} \ right)}